Шесть канонических сценариев — от вклада с пополнением до оптимизации ипотеки и досрочного погашения. Каждый тип: теория, ключевая формула, алгоритм, типичные ловушки и полностью разобранный пример. Это самая жизненно-применимая задача всего ЕГЭ — её математика встречается каждый раз, когда вы открываете вклад или подписываете кредит.
Задание №16 — экономическая задача с развёрнутым решением. Состоит из двух взаимосвязанных частей: формализация условия в уравнение/неравенство и точное вычисление искомой величины с обоснованием.
Перевести словесное описание (банк, кредит, вклад) в математическую модель: ввести переменные, записать уравнение или неравенство, отражающее условие задачи.
Здесь оценивается, видишь ли ты финансовую конструкцию за словами: вклад с пополнением — это геометрическая прогрессия; аннуитет — формула равномерных платежей; дифференцированный кредит — арифметическая прогрессия процентов.
Применить выбранную формулу или метод, аккуратно посчитать с проверкой арифметики, обосновать выбор округления (например, минимальное X из ограничения, кратное тысяче).
Здесь часто теряются баллы — не из-за непонимания, а из-за арифметической ошибки. Поэтому проверка через альтернативный метод или подстановкой обязательна.
За всеми вариантами задания №16 стоит один из шести типовых сюжетов. Распознать тип за $30$ секунд — половина успеха, потому что у каждого типа своя ключевая формула и свой алгоритм.
Геометрическая прогрессия для накопления. Начальный взнос плюс ежегодные/ежемесячные пополнения под фиксированную ставку.
Аннуитетная формула $PMT$. Кредит с равными ежемесячными или ежегодными платежами. Главный сюжет ипотеки.
Равные части основного долга плюс убывающие проценты. Арифметическая прогрессия. Сюжет «убывающего платежа».
Обращение формулы. Найти максимальный кредит при ограничении на платёж или минимальный взнос для цели за заданный срок.
Неравенство с прогрессией. Найти минимальное (максимальное) значение переменной так, чтобы итог удовлетворял неравенству.
Досрочное погашение, поэтапные платежи, смена условий. Требует комбинации формул и аккуратной декомпозиции.
Самый «накопительный» сюжет. Сложный процент работает в плюс: начальный капитал растёт, ежегодные пополнения добавляются и тоже начинают зарабатывать проценты. Геометрическая прогрессия в чистом виде.
Если начальный вклад $P$ положен под $r$ долей годовых (например, $r = 0{,}10$ для $10\%$), и каждый год в конце года добавляется сумма $A$, то баланс через $n$ лет:
Каждое пополнение $A$, сделанное на $k$-м году, к концу $n$-го года вырастает в $A\cdot(1+r)^{n-k}$. Сумма $\sum_{k=1}^{n} A\cdot(1+r)^{n-k}$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $(1+r)$.
«1 января пополняется» или «31 декабря после процентов» — два разных сценария. Первое пополнение успевает $n-1$ или $n$ начислений.
Если ставка $r$ годовая, а пополнения ежемесячные — переходим к $r_m = r/12$ и $n_m = 12\cdot n$.
При $r > 0$ сумма $\dfrac{(1+r)^n - 1}{r}$ всегда больше $n$. Если получили меньше — ошибка в формуле.
Подставьте любые значения и убедитесь, что метод работает на любых числах. Калькулятор показывает шаг-за-шагом и по формуле — обе суммы должны совпасть.
Самый частый сюжет №16 и доминирующий тип ипотечного кредитования в реальной жизни. Равные платежи в течение всего срока. Сложный процент работает против заёмщика — те же геометрические прогрессии, но с обратным знаком.
Заёмщик берёт сумму $P$ под ставку $r$ за период. Платит равные платежи $PMT$ в течение $n$ периодов. К концу срока долг гасится:
Откуда взялась: после каждого платежа долг $D_k = D_{k-1}\cdot(1+r) - PMT$. Решая рекуррентное уравнение с условием $D_n = 0$, получаем формулу выше. Это сумма геометрической прогрессии, но с вычитанием.
Общая выплата: $T = PMT\cdot n$. Переплата: $T - P$.
В ЕГЭ обычно годовые платежи. На практике — месячные. Не путать единицы: если $r$ годовая, а $n$ — месяцев, формула даст бессмыслицу.
В тексте задачи часто пишут «долг возрастает на $14\%$» — это значит умножение на $1{,}14$, то есть $r = 0{,}14$.
Если $r \to 0$, формула даёт $PMT \to P/n$ (просто делим долг). Хорошая sanity-check.
Альтернатива аннуитету: основной долг гасится равными частями, а проценты насчитываются на остаток. Платежи убывают со временем. Математически — арифметическая прогрессия процентов, и общая переплата считается красивой формулой.
Кредит $P$ делится на $n$ равных частей основного долга: $P/n$. В $k$-м периоде:
Проценты в периодах: $P\cdot r,\ P(n-1)/n\cdot r,\ P(n-2)/n\cdot r,\ \ldots,\ P/n\cdot r$ — арифметическая прогрессия. Сумма всех процентов имеет красивую закрытую форму:
«Остаток в начале периода» = до начисления процентов. «Остаток в конце» = после погашения. Не путать.
При одинаковой ставке и сроке диффер всегда даёт меньшую переплату (~$(n+1)/(2n_{\text{аннуитета}})$ от аннуитетной).
$1 + 2 + \ldots + n = n(n+1)/2$ — основа большинства подсчётов в этом типе.
Сюжет «куда вложить» и «сколько можно занять». В этом типе формула применяется в обратную сторону: знаем $PMT$ или $T$, ищем $P$ или $n$. Часто связана с реальным ограничением — максимальный платёж, который банк одобрит.
Зная максимальный платёж $PMT$, можно найти максимальный кредит $P$ из обращения формулы аннуитета:
Для задач «найти $n$, чтобы за срок не более $n$ погасить с платежом $PMT$» используется обращение через логарифм:
Если $PMT \leq P\cdot r$ — долг не гасится никогда (платёж покрывает только проценты). Это обязательно проверить.
«Максимальная сумма» → округление вниз. «Минимальный платёж» → округление вверх. Всегда так, чтобы условие выполнялось.
Найдя ответ, подставить в исходную формулу и убедиться, что условие выполнено — и не выполнено для соседнего значения.
Введите свой доход, желаемую максимальную долю платежа от дохода, ставку и срок. Калькулятор покажет верхнюю границу кредита и связанные показатели. Это обратная формула аннуитета в действии.
Сюжеты «найти минимальное X, чтобы через n лет накоплений было не менее T» или «максимальное X, при котором долг гасится за n лет». Неравенство с прогрессией, решаемое относительно X.
Если требуется найти $X$ (взнос, платёж), такое что после $n$ периодов выполняется условие $\text{итог}(X) \geq T$ (или $\leq T$), мы:
Часто требуется $X$ кратное заданной сумме (например, тысяче). Тогда округляем до ближайшего кратного в нужную сторону.
«Минимальное $X$, чтобы накопить $T$» → округление вверх. «Максимальный кредит» → округление вниз.
Подставить найденный $X$ и соседнее значение. Только так доказывается, что найдено именно граничное значение.
Если требуется «кратное $1000$» — округляем до ближайшего кратного $1000$ в нужную сторону, потом проверяем.
Сюжеты с переменными условиями: досрочное погашение, смена ставки в середине срока, бонусы за выполнение условий, поэтапные платежи. Здесь нет «одной формулы» — нужно разобрать сюжет на фазы и применить базовые формулы в каждой.
Любой смешанный сценарий разбивается на фазы, каждая из которых описывается одной из базовых формул (Ф.1–Ф.5). Алгоритм работы:
Для досрочного погашения после $k$ периодов из $n$ всего: остаток долга считается по формуле аннуитета с обратным направлением:
«Сколько заплатит за всё» ≠ «сколько при досрочном погашении» ≠ «общая переплата». Точно определить искомое.
Часто в одной задаче месяцы и годы перемешаны. Записать единицы в каждой переменной — и не путать.
После каждой фазы проверять разумность: долг не отрицательный, баланс не падает резко.
Шесть типов задачи №16 — это не отдельная экзаменационная тема. Это математический язык управления личными финансами. Эти же формулы лежат в основе курса «Прикладная математика. Финансовая математика», где они применяются к реальным сюжетам: открытию вклада, выбору ипотеки, инвестициям в собственные навыки.
Каждый разобранный сценарий выше имеет прикладной аналог в курсе. Ниже — навигатор по этим связям.
Главная страница курса: семь принципов Вавилона, правило $10\%$, два интерактивных калькулятора (10% правила и парадокс раннего старта), карта программы. Начинать стоит отсюда.
К главной курса →Психология денег, «плати себе первым», доходы и навыки, первая практика с двумя калькуляторами. Атлас № 16 — экзаменационный язык, а Модуль 1 — его прикладной перевод.
К Модулю 1 →Компетенции как множитель, AI как усилитель, дисциплина как сложный процент. Связь с Ф.5 (прогрессии с условием) и идеей человеческого капитала.
К Разделу 1 →Когда $10\%$ мало, когда $20\%$ много. Долги и снежный ком. Прямая связь с Ф.2 (аннуитет), Ф.3 (диффер) и Ф.6 (досрочное погашение).
К Разделу 2 →Калькулятор человеческого капитала — та же формула геометрической прогрессии с дисконтированием. Задача № 16 как тренажёр главной задачи жизни.
К Разделу 3 →Эти приёмы появляются почти в каждой задаче №16, независимо от типа. Освоить их — половина гарантии решить любую задачу.
$\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \dfrac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \ne 1$. Главная формула №16: появляется в Ф.1, Ф.2, Ф.5, Ф.6. Помнить наизусть.
$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (формула Гаусса). Появляется в дифференцированных кредитах (Ф.3) и при расчёте суммы убывающих процентов.
Если в уравнении неизвестно $n$ в показателе: $(1+r)^n = M$ → $n = \dfrac{\ln M}{\ln(1+r)}$. Появляется в задачах «через сколько лет».
Для дифференцированных и нестандартных сюжетов: ввести значимую переменную (например, $x$ — первый платёж, разность платежей, остаток долга в момент $k$). Простое введение часто сразу даёт уравнение.
После решения — подставить найденный ответ в исходные условия. Для Ф.5 — подставить ещё и соседнее значение. Это спасает 2-й балл.
«Округлим вверх до тысячи, так как требуется не менее…» — фраза, которая стоит балл. Без неё проверяющий не уверен, что вы понимаете, почему именно так округлили.
Самые частые причины потери баллов на №16 — это не математические ошибки, а ошибки оформления и проверки. Чек-лист ниже выработан из анализа реальных проверочных работ.