В первом модуле мы пощупали накопления руками. Во втором — разбираем математику, которая стоит за этим эффектом: формулу сложного процента, правило $72$, формулу аннуитета и парадокс раннего старта. Четыре идеи — фундамент всех остальных вычислений курса, всех задач №16 ЕГЭ и всех серьёзных решений о деньгах в вашей жизни.
Формула $FV = P(1+r)^n$ — главная экспонента жизни. Геометрическая прогрессия в чистом виде.
Быстрая оценка времени удвоения капитала. Считается в уме за секунды, ошибается на $1$–$3\%$.
Формула равных платежей по кредиту. Та же геометрическая прогрессия, но в обратную сторону.
Математика того, почему $10$ лет раннего инвестирования побеждают $25$ лет позднего.
Формула $FV = P(1+r)^n$ выглядит обманчиво просто. На самом деле это самая мощная количественная идея, известная человеку. Эйнштейну приписывают: «Сложный процент — восьмое чудо света. Кто понимает его — зарабатывает; кто не понимает — платит.» Цитата апокрифична, но мысль точна.
Магия — в показателе. Линейный рост (простой процент) даёт $FV = P\cdot(1 + r\cdot n)$. Экспоненциальный рост даёт $FV = P\cdot(1+r)^n$. На горизонте $30$ лет при $10\%$: простой даёт $\times 4$, сложный — $\times 17{,}45$. Разница в $4{,}4$ раза.
$100\,000$ ₽ под $10\%$ годовых на $30$ лет. Слева — простой процент, справа — сложный. Чёрная пунктирная линия — момент, после которого разница становится драматической.
Положил $100\,000$ ₽ на брокерский счёт в индексный фонд под средние $8\%$ и больше ни копейки не пополнял. К $65$ годам — $2\,172\,000$ ₽. За свою жизнь он отдал в инвестиции $100$ тысяч, а получил $2{,}1$ миллиона.
К калькулятору правила 10%Откладывает по $10\,000$ ₽/мес с $25$ до $65$ лет под $8\%$. Внесла за жизнь $4{,}8$ млн ₽ из своего кармана. К пенсии — около $31$ млн ₽. Разница в $26$ миллионов — это и есть проценты на проценты.
К дисциплине из Раздела 1.5$100\,000$ ₽ под подушкой при инфляции $6\%$ через $12$ лет имеют покупательную способность $50\,000$ ₽. Сложный процент работает в обе стороны — либо вы на нём зарабатываете, либо он зарабатывает на вас.
К калибровке зон сбереженийМоё богатство — это сочетание удачи родиться в Америке, удачной генетики и сложного процента.
Прикладной приём, который должен знать каждый взрослый человек. Зная ставку, за секунду оценивайте время удвоения капитала. Видя время — оценивайте требуемую ставку. Каждый раз, когда читаете рекламу банка, эта формула отвечает: «достижимо? чудеса? или мошенничество?»
| Ставка $r$ | Правило 72 | Точное значение | Ошибка |
|---|---|---|---|
| $3\%$ | $24{,}00$ года | $23{,}45$ года | $+2{,}3\%$ |
| $6\%$ | $12{,}00$ лет | $11{,}90$ года | $+0{,}9\%$ |
| $8\%$ | $9{,}00$ лет | $9{,}01$ года | $-0{,}1\%$ |
| $10\%$ | $7{,}20$ лет | $7{,}27$ года | $-1{,}0\%$ |
| $12\%$ | $6{,}00$ лет | $6{,}12$ года | $-1{,}9\%$ |
| $15\%$ | $4{,}80$ года | $4{,}96$ года | $-3{,}2\%$ |
Сдвигайте ползунок ставки и сразу видите, за сколько лет капитал удвоится. Калькулятор показывает и приближение по правилу 72, и точное значение по логарифму — наглядно видна точность приёма.
Считаем: $72/5 = 14{,}4\%$ годовых. Достижимо? На стабильных инструментах — нет. Это означает либо высокий риск, либо обещание, которое не сдержат. Правило 72 — это первый детектор финансового лохотрона.
К мышлению инвестораСредняя инфляция $6$–$8\%$ → деньги обесцениваются вдвое за $9$–$12$ лет. Это значит: $1$ млн на счёте сегодня = $500$ тысяч покупательной способности к $2037$ году, если ставка вклада не покрывает инфляцию.
К калибровке нормыЕсли вы добавляете $12\%$ к зарплате каждый год (через обучение, смену работы, новые навыки) — она удваивается за $6$ лет. За $30$ лет карьеры — $5$ удвоений = $\times 32$ от стартовой.
К карте навыковПервое правило сложного процента — не прерывайте его без необходимости.
Если сложный процент работает на вас при инвестициях, аннуитет — это его обратная сторона, работающая против вас при кредите. Все ипотечные платежи в России — аннуитетные. Понять эту формулу — значит научиться читать кредитный договор, а не подписывать вслепую.
Главный нюанс: первые платежи почти полностью идут на проценты, и лишь малая часть гасит основной долг. С каждым следующим платежом доля основного долга растёт, а процентов падает. Это создаёт иллюзию равенства, но математически платежи неравны по структуре.
Введите параметры кредита и увидите ежемесячный платёж, общую сумму к выплате и переплату. SVG-график показывает, как меняется соотношение «основной долг — проценты» по годам.
На ипотеке $3$ млн ₽ под $7\%$ на $20$ лет за первые $7$ лет вы погасите только $\approx 20\%$ тела кредита. Остальные $80\%$ платежей этих $7$ лет — проценты банку. Это не обман — это математика.
К стратегии «снежного кома»Каждый рубль, отправленный сверх $PMT$, идёт сразу на основной долг. Один досрочный платёж в $100$ тыс. на ипотеке $20$ лет под $7\%$ экономит $\approx 220$ тыс. ₽ процентов за весь срок. Это «доходность» $120\%$ за один платёж.
К Атласу №16 Ф.6$30$ секунд: $PMT = P\cdot r_m\cdot(1+r_m)^n / ((1+r_m)^n - 1)$. Если ваш расчёт совпал с банковским — значит, доп. комиссии не «зашиты». Если не совпал — спросите, что забыл упомянуть менеджер.
К Атласу №16 Ф.2Деньги делают деньги. И деньги, которые сделаны деньгами, делают ещё больше денег.
Если бы кто-то спросил, какая из идей этого курса самая важная — это она. Парадокс прост: тот, кто инвестировал $10$ лет рано и больше ничего не вносил, обычно обгоняет того, кто инвестирует $30$ лет, но начинает поздно. И обгоняет даже при том, что внёс в $2$–$3$ раза меньше денег.
Главное в сложном проценте — возраст денег. Каждый рубль, оставленный работать, удваивается на каждом периоде удвоения. Рубль Анны, вложенный в $25$ лет, к её $65$ годам пережил $4{,}4$ удвоения (при $r = 8\%$, $40$ лет). Рубль Бориса, вложенный в $50$ лет, — только $1{,}7$ удвоения.
Каждый рубль, не вложенный сегодня, навсегда теряет одну из своих экспонент. Этот «упущенный возраст денег» — самая дорогая ошибка в личных финансах.
Анна вкладывает $10\,000$ ₽/мес с $25$ до $35$ лет ($10$ лет), потом не вносит. Борис вкладывает $10\,000$ ₽/мес с $35$ до $60$ лет ($25$ лет). Оба под $8\%$. Кто кого?
Анна вложила за всю жизнь $1{,}2$ млн ₽ ($10$ лет по $120$ тыс. в год). Её капитал к $60$ годам — $11{,}9$ млн ₽. То есть из её рук работают $10{,}7$ млн — это проценты на проценты, $9$ из этих миллионов появились после того, как она перестала вносить деньги.
Борис вложил $3$ млн ₽ ($25$ лет по $120$ тыс.) — в $2{,}5$ раза больше Анны. Но его капитал к $60$ годам — $8{,}8$ млн ₽, на $3$ млн меньше. Анна обогнала Бориса, выйдя на пенсию, заплатив за это в $2{,}5$ раза меньше денег.
Это не математический трюк. Это реальная картина: каждый раз, когда вы откладываете на потом начало инвестирования, вы платите за это десятилетиями экспоненты. И эту цену не видно — потому что упущенная прибыль не видна в кошельке. Но она существует.
Студент, отложивший $50$ тыс. с подработки в $20$ лет под $8\%$, имеет $1{,}1$ млн ₽ к $65$ годам. Один разовый поступок $20$-летнего давнего себя — больше, чем годовая зарплата $40$-летнего себя.
К школе и студенчествуСамый дорогой долг — это не кредитка под $25\%$. Это годы упущенного инвестирования. У них «процент» — это вся ваша жизнь, и они не подлежат рефинансированию.
К мышлению инвестораКаждый рубль, который вы инвестируете сегодня, — это подарок себе через $40$ лет. Этот рубль вернётся $\times 22$ при $8\%$. Поэтому даже $1\,000$ ₽ в неделю — это $\approx 5$ млн ₽ через $40$ лет.
К калькулятору раннего стартаЛучшее время посадить дерево было $20$ лет назад. Второе лучшее — сегодня.
Кто-то сегодня сидит в тени, потому что кто-то когда-то посадил дерево.