Модуль 6.2 · Дерево решений

Развилка, нарисованная честно

Когда у решения есть варианты, а у вариантов — случайные исходы, спор «в голове» быстро запутывается. Дерево решений раскладывает развилку на бумаге: квадрат — ваш выбор, круг — случай, на концах — ценности. Дальше остаётся посчитать ветви.

Тяните бегунок: ожидаемые баллы ветки Б пересчитываются, и на пороге выгодная ветвь переключается.

Нарисуйте развилку — и спор о «чувствуется» превратится в счёт по ветвям.

Принцип дерева решений

Раздел 1 · Зачем дерево

Развилку — на бумагу

Дерево решений — самый прямой способ превратить мутное «что выбрать?» в считаемую структуру.

Три элемента

■ узел решения — выбираете вы ● узел случая — «выбирает» вероятность × лист — исход и его ценность

Из квадрата выходят ваши варианты, из круга — случайные исходы с вероятностями, на концах стоят ценности: баллы, деньги, время. Уже само рисование помогает: половина «сложных решений» разваливается, как только варианты и исходы выписаны явно. Вторая половина — считается, как в Главе $2$.

Раздел 2 · Ветви

Считаем ветви

У каждой ветви — своя ожидаемая ценность. Решение в корне — выбор ветви с лучшей.

Пример с экзаменом

Осталось время на одну задачу. Задача А: решу с вероятностью $90\%$, даёт $2$ балла. Задача Б: решу с вероятностью $40\%$, даёт $6$ баллов. Считаем ветви: $E_{A} = 0{,}9 \cdot 2 = 1{,}8$ балла, $E_{B} = 0{,}4 \cdot 6 = 2{,}4$ балла. Дерево говорит: в среднем выгоднее рискнуть с Б.

Ожидаемая ценность ветви и сворачивание $$E_{\text{ветви}} = \sum_i p_i \cdot x_i$$

Это $E[X]$ из Модуля $2.2$, применённая к каждой ветви. Многоэтапные деревья «сворачивают» с конца: сначала считают $E$ дальних узлов случая, подставляют их как ценности, и так до корня — в корне сравнивают готовые числа.

Раздел 3 · Интерактив

Сосчитайте дерево

Четыре задачи на механику дерева: ценность ветви, выбор, сворачивание и порог.

Интерактив · 4 задачи

Сосчитайте дерево

Помните порядок: ценности листьев → $E$ узлов случая → выбор в квадрате.

Верно: 0 / 4

1Ветвь ведёт к узлу случая: с вероятностью $25\%$ выигрыш $8\,000$, иначе $0$. Ожидаемая ценность ветви?

2Корень: ветвь А — гарантированные $1\,500$; ветвь Б — $50\%$ на $4\,000$, иначе $0$. Что выбирает дерево по ожидаемой ценности?

3В каком порядке считают многоэтапное дерево?

4Ветвь А даёт $E = 1{,}8$. Ветвь Б приносит $6$ при вероятности $p$, иначе $0$. При каком $p$ ветви равны?

Раздел 4 · Порог

Где ветвь переворачивается

Самый сильный приём дерева — спросить не «какая вероятность точна», а «при какой вероятности решение меняется».

Анализ чувствительности

Найдите порог. В примере с экзаменом ветви равны при $p = 1{,}8 / 6 = 0{,}3$: если шанс решить Б выше $30\%$ — выгоднее Б, ниже — А. Бегунок на иллюстрации показывает это вживую.
Спор сжимается до одного вопроса. Не нужно угадывать, $40\%$ у вас или $45\%$: достаточно честно ответить, больше ли шанс трети.
Толстый запас — спокойное решение. Если ваша оценка далека от порога, неточность вероятностей не страшна; если близка — решение хрупкое, и стоит добыть данные (Глава $3$!).

Раздел 5 · Пределы

Чего дерево не видит

Дерево — рентген развилки, а не автопилот. Несколько слепых зон стоит держать в голове.

Слепые зоны

Разброс. Дерево сравнивает средние; риск ветвей ($\sigma$, Модуль $2.4$) добавляйте отдельно — особенно для разовых решений.
Необратимость. Класс решения (Модуль $2.3$) важнее красивого счёта: для необратимой ветви взвесьте худший лист, а не только среднее.
Качество входов. Вероятности и ценности — ваши оценки; мусор на входе даст уверенный мусор на выходе. Лечится порогом из Раздела $4$ и обновлением по данным.

Итого: дерево проясняет решение — структурой, числами и порогом, — но выбирает по-прежнему человек, видящий и риск, и обратимость.

Раздел 6 · Итог

Считаемая развилка

Дерево решений соединяет инструменты курса в одну картинку.

Связь с курсом

Модуль $2.2$: $E$ ветви — это та же ожидаемая стоимость, узел за узлом.
Модули $2.3$–$2.4$: класс решения и разброс — поправки поверх дерева.
Глава $3$: вероятности на ветвях обновляются данными по Байесу.
Модуль $6.3$: когда ценности эмоциональные, а не числовые, — помогает правило $10/10/10$.

Главное. Квадрат — выбор, круг — случай, листья — ценности. $E$ ветви $= \sum p_i x_i$; многоэтапные деревья сворачивают с конца; в корне берут лучшую ветвь. Порог чувствительности сжимает спор о вероятностях до одного вопроса, а пределы дерева (разброс, необратимость, качество оценок) закрывают модули $2.3$–$2.4$.

Что забрать из модуля 6.2

$I$Структура: квадрат — решение, круг — случай, лист — ценность исхода.

$II$Счёт: $E$ ветви $= \sum p_i x_i$ — ожидаемая стоимость из $2.2$, применённая к развилке.

$III$Сворачивание: многоэтапное дерево считают с конца к корню.

$IV$Порог: ищите вероятность, при которой решение переворачивается, — спор сжимается до одного вопроса.

$V$Пределы: разброс, необратимость и качество оценок дерево не видит — добавляйте сами.

Проверь себя0 / 5

Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.

Источники

Raiffa H. (1968). Decision Analysis: Introductory Lectures on Choices under Uncertainty. Addison-Wesley. поиск источника
Hammond J., Keeney R., Raiffa H. (1999). Smart Choices: A Practical Guide to Making Better Decisions. HBS Press. поиск источника
Clemen R. (1996). Making Hard Decisions: An Introduction to Decision Analysis. Duxbury. поиск источника

Образовательный материал. Числа примеров ($E_{A}=1{,}8$, $E_{B}=2{,}4$, порог $0{,}3$, ветвь $2\,000$) проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.