Любое сложное построение собирается из горстки простых: разделить угол и отрезок пополам, опустить перпендикуляр, провести параллель, перенести отрезок или угол. Это азбука геометра. Освоив её, можно строить что угодно — шаг за шагом.
Удивительно, как мало нужно базовых приёмов. Разделить пополам отрезок и угол, восставить и опустить перпендикуляр, провести параллель, отложить равный отрезок и равный угол — этого набора хватает, чтобы из него, как из кирпичиков, собрать любое более сложное построение.
Почему работает: засечки из X и Y делаются равным раствором, поэтому точка Z одинаково удалена от обеих сторон угла — а это и есть биссектриса. Снова: построили и обосновали.
К прямой из данной точки: дуга отсекает на прямой две точки, дальше — серединный перпендикуляр к полученному отрезку.
Через точку параллельно прямой: перенести угол (накрест лежащие равны) или дважды опустить перпендикуляр.
Отложить отрезок данной длины от точки по направлению — раствором циркуля, равным переносимому отрезку.
Построить угол, равный данному: дуга в исходном угле задаёт «хорду», её же откладываем у новой вершины.
На n равных частей — теоремой Фалеса: вспомогательный луч с n равными засечками и параллельные.
Серединный перпендикуляр (см. M3) сразу даёт и середину отрезка, и перпендикуляр к нему.
Сложная задача разбивается на знакомые шаги. Вписать окружность в треугольник? Центр — пересечение биссектрис (наш приём выше). Описать окружность? Центр — пересечение серединных перпендикуляров. Построить касательную, высоту, медиану — всё это цепочки базовых приёмов.
Поэтому азбуку важно довести до автоматизма: тогда в любой задаче глаз сразу раскладывает её на простые построения. Тренируется это решением задач (Прасолов, Шарыгин).