Циркуль и линейка строят не только перпендикуляры. Ими можно получить золотое сечение φ, правильный пятиугольник и шестиугольник — пропорции гармонии. А Гаусс выяснил поразительное: какие правильные n-угольники вообще можно построить, а какие — нет.
Некоторые построения дают не просто фигуру, а знаменитую пропорцию или форму. Золотое сечение веками считают мерой гармонии; правильные многоугольники лежат в основе орнамента, архитектуры, природных узоров. И всё это доступно двум простым инструментам.
$\dfrac{a+b}{a}=\dfrac{a}{b}=\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}{2}\approx 1{,}618$
Корень из пяти строится как гипотенуза (катеты 1 и 2), а дальше — простая арифметика отрезков. Поэтому φ — построимое число.
Золотое сечение спрятано в правильном пятиугольнике: его диагональ относится к стороне как φ. Поэтому построение пятиугольника и построение φ — по сути одно и то же.
В 19 лет Гаусс построил правильный 17-угольник — и был так горд, что завещал высечь его на своём надгробии. А затем он (и позднее Ванцель) доказал общий критерий: правильный n-угольник строится циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда
$n = 2^{k}\,p_1 p_2 \cdots p_m$
где $p_i$ — различные простые числа Ферма вида $2^{2^{t}}+1$ (это 3, 5, 17, 257, 65537). Поэтому строятся 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17-угольники, а 7, 9, 11, 13-угольники — нельзя. Удивительно: вопрос геометрии решается арифметикой простых чисел.