Из послереформенного компромисса вырос доступный массовый учебник. Он многое дал — и кое-что важное забрал: привычку видеть фигуру и решать задачу творчески. Глава о том, что потеряла школа линии Киселёва и почему формула без картинки подводит.
После отката реформы (глава III) школе нужен был учебник, понятный любому классу и среднему учителю. Им стал курс Атанасяна: ясный, аккуратный, доказательный — и сохранивший полезные приобретения реформы (координаты, векторы, преобразования). Так он и стал массовым стандартом.
Это была честная победа — но у всякой массовой нормы есть цена. Чтобы учебник работал везде, в нём усилилось то, что легко проверить и единообразно объяснить, и ослабло то, что требует сильного учителя: культура наглядного, творческого решения задачи.
«Школьники линии Киселёва» учились геометрии синтетически: сначала увидеть чертёж, провести вспомогательную линию, заметить симметрию — и лишь потом считать. Решение рождалось из картинки, а не из подстановки в формулу.
Сдвиг к удобному вычислительному методу незаметно вытеснил этот навык. Геометрия всё чаще сводится к «введём координаты и посчитаем». Метод сильный — но если он становится единственным, ученик перестаёт воображать пространство. А именно воображение нужно там, где готовой формулы нет.
Комната $30\times12\times12$ футов. Паук — в середине торцовой стены, в 1 футе от потолка; муха — в середине противоположной стены, в 1 футе от пола. Какой кратчайший путь по поверхности приведёт паука к мухе?
Это буквально про жизнь: так тянут кабель по стенам, обматывают коробку лентой, ползёт муравей по ящику.
«Очевидный» путь — вниз по стене, через пол, вверх к мухе: $1+30+11=42$ фута. А формула расстояния в координатах соблазняет посчитать прямую через комнату $\sqrt{30^2+11^2+\dots}$ — но по ней паук не пройдёт: это полёт сквозь воздух, а не путь по поверхности.
Мысленно разворачиваем грани в одну плоскость — и кратчайший путь по поверхности становится прямой. В удачной развёртке получается прямоугольный треугольник с катетами $24$ и $32$:
$\sqrt{24^2+32^2}=\sqrt{576+1024}=\sqrt{1600}=40$
40 футов — короче «очевидных» 42Путь идёт сразу через пять граней. Увидеть это можно только вообразив развёртку — никакая формула сама её не подскажет.
Два дома $A$ и $B$ стоят по одну сторону прямого канала. Нужно поставить на берегу один насос и протянуть трубы к обоим домам так, чтобы суммарная длина труб была минимальной. Где точка $P$ на берегу?
Та же задача — спасатель бежит к воде и к тонущему; официант к стойке и к столу; луч света, отражённый от зеркала.
«В лоб» хочется выразить длину $AP+PB$ как функцию положения $P$ и искать минимум перебором или производной — это работает, но громоздко и ничего не показывает.
Отразим дом $B$ относительно берега в точку $B'$. Для любой точки $P$ на берегу $PB=PB'$, значит $AP+PB=AP+PB'$ — а это минимально, когда $A$, $P$, $B'$ лежат на одной прямой.
Значит $P$ — пересечение берега с прямой $AB'$. Попутно получаем закон отражения: угол «прихода» равен углу «ухода» — тот самый, по которому идёт свет.
P — пересечение берега с прямой A–B′Высота дерева по длине его тени (подобные треугольники), пройдёт ли диван в дверь и за угол, как разложить выкройку или развёртку коробки, как прочитать план квартиры — всё это решается взглядом и воображением, а не подстановкой в готовую формулу.
Уточним сразу: векторы и координаты — прекрасный инструмент, одно из лучших приобретений XX века в школе. Проблема не в них, а в том, когда они становятся заменой зрения, а не его продолжением.
Координатная машина честно считает арифметику — но не подсказывает идею. В задаче про паука она сама не «развернёт» комнату; в задаче Герона сама не «отразит» дом. Эти ходы рождаются из наглядного образа. Поэтому ученик, обученный только формуле, на нешаблонной задаче уверенно выдаёт ответ — и этот ответ бывает неполным или попросту неверным (как путь сквозь стену).
Последствия выходят за пределы экзамена. Там, где нужно увидеть пространство — в инженерной графике, архитектуре, 3D-моделировании, да и в быту, — формула без наглядности оставляет человека беспомощным. Поэтому здоровая школа держит и то, и другое: картинку и вычисление вместе. Как раз это и защищала линия Киселёва, а позже — Школа Шарыгина.
Откуда взялся компромисс: реформа и водораздел изданий.
→ что получили и потеряличитать → Глава V · корпусКто защитил наглядность и творческое решение задач — билет в МГУ и МАРХИ.
→ наглядность как методчитать → ↩ серияОглавление «Сто лет школьной математики»: все главы.
→ вся хронологияоткрыть →