Интерактивный методический курс из двух занятий: научимся уверенно строить проекции, находить углы в пространстве и оформлять доказательства по критериям ЕГЭ.
Цель — научить уверенно решать задачи №13 и №14 профильного ЕГЭ по стереометрии. Главный акцент — углы в пространстве, поскольку именно они вызывают наибольшее количество ошибок у учеников.
Каждое занятие — это связка теория → визуализация → метод → практика → разбор. В правом верхнем углу вы можете переключать уровень изложения: базовый — для понимания механики, продвинутый — для боя с настоящими задачами №14.
Прежде чем находить углы, нужно научиться видеть объекты, между которыми эти углы возникают. Это шесть базовых конструкций — и почти любая задача состоит из их комбинаций.
Плоскость — бесконечно тонкий «лист»: $\alpha,\ \beta,\ \gamma$. Задаётся тремя точками, прямой и точкой вне её, или двумя пересекающимися прямыми.
Прямая в пространстве — может лежать в плоскости, быть параллельной ей или пересекать её.
Скрещивающиеся прямые — не пересекаются и не параллельны (нельзя поместить в одну плоскость).
Перпендикуляр — отрезок из точки к плоскости под прямым углом. Наклонная — отрезок к плоскости под не-прямым углом.
Проекция точки на плоскость — основание перпендикуляра, опущенного из этой точки.
Проекция прямой на плоскость — множество проекций всех её точек (обычно тоже прямая).
Плоскость $\alpha\subset\mathbb{R}^3$ в координатах: $Ax+By+Cz+D=0$, где $\vec n=(A,B,C)$ — её нормаль. Этот вектор — главный инструмент координатного метода для задач №14.
Скрещивающиеся прямые: $\ell_1$ задана точкой $M_1$ и направляющим $\vec a$, $\ell_2$ — точкой $M_2$ и $\vec b$. Если $\bigl(\vec{M_1M_2},\vec a,\vec b\bigr)\neq 0$ (смешанное произведение), прямые скрещиваются. Расстояние: $\displaystyle d=\frac{|(\vec{M_1M_2},\vec a,\vec b)|}{|\vec a\times\vec b|}$.
Проекция точки $M$ на плоскость $\alpha:\ \vec n\cdot\vec r=d$ — формула: $M'=M-\dfrac{\vec n\cdot M - d}{|\vec n|^2}\vec n$.
Расстояние от точки до плоскости — основная техника для углов: часто требуется и для нахождения наклонной, и для построения нормали. $\displaystyle \rho(M,\alpha)=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
Прямая параллельна плоскости, если в этой плоскости найдётся прямая, параллельная данной (и сама прямая не лежит в плоскости).
Две плоскости параллельны, если в одной из них есть две пересекающиеся прямые, соответственно параллельные двум прямым другой плоскости.
Координатный критерий: $\vec n_1\parallel\vec n_2$, т.е. нормали коллинеарны.
Если прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости $\alpha$, то она перпендикулярна и самой плоскости:
Этот признак — основной способ доказать перпендикулярность прямой и плоскости в задачах №14.
Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно её проекции, перпендикулярна самой наклонной — и наоборот.
Главное оружие против задач с углами и расстояниями.
Применение: позволяет «спустить» вопрос о перпендикулярности с пространственного на планиметрический — работать с плоской фигурой основания.
Если две плоскости перпендикулярны, то прямая одной плоскости, перпендикулярная линии их пересечения, перпендикулярна и другой плоскости.
Это даёт способ строить линейный угол двугранного угла — мы вернёмся к этому во втором занятии.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. Если прямая перпендикулярна плоскости — угол равен $90°$; если параллельна или лежит в ней — $0°$.
Таким образом, в общем случае это всегда острый (или прямой) угол $0°\leq\varphi\leq 90°$.
Координатный путь:
Важно: здесь именно синус (а не косинус), потому что угол между прямой и плоскостью — это $90°$ минус угол между прямой и нормалью.
Угол между прямой и плоскостью — это не угол между двумя прямыми. Он измеряется в прямоугольном треугольнике, где один катет — перпендикуляр, другой — проекция, гипотенуза — сама наклонная.
В 90% задач №13–14 нужный треугольник «уже встроен» в фигуру. Натренируйте глаз искать эти пять конструкций:
Перпендикуляр из вершины пирамиды / призмы к плоскости основания. Почти всегда — главный катет.
Куба, грани, параллелепипеда — типичная наклонная. Её проекция — диагональ основания.
Часто появляется в правильных пирамидах: апофема падает в середину ребра основания.
Отрезок, соединяющий основание перпендикуляра с концом наклонной — рисуем пунктиром.
В нём и происходит всё вычисление угла. Найди его — задача почти решена.
Работа «руками»: построение, треугольники, теоремы планиметрии.
Когда выбирать: правильная фигура, простые соотношения, нет «корявых» чисел. Это путь №13.
Введи систему координат — далее задача становится механической.
Угол между прямыми:
Угол между прямой и плоскостью (через нормаль):
Когда выбирать: сложная фигура, «странные» отношения сторон, чувствуется, что геометрия будет долгой. Это путь №14.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ найдите угол между диагональю $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$.
1) Проекция $AC_1$ на $ABCD$ — это диагональ $AC$ основания.
2) В прямоугольном треугольнике $ACC_1$: катет $CC_1=a$, катет $AC=a\sqrt{2}$ (диагональ квадрата).
3) $\tan\varphi=\dfrac{CC_1}{AC}=\dfrac{a}{a\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
4) $\varphi=\arctan\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
φ = arctan(√2 / 2) ≈ 35.26°В правильной шестиугольной призме все рёбра равны $1$. Найдите угол между прямой $AB_1$ и плоскостью основания $ABCDEF$.
Проекция $AB_1$ на основание — это сторона $AB$. В прямоугольном треугольнике $ABB_1$: катеты $AB=1$, $BB_1=1$.
$\tan\varphi=\dfrac{BB_1}{AB}=1$, следовательно $\varphi=45°$.
φ = 45°В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB=2$, боковое ребро $SA=\sqrt{6}$. Найдите угол между прямой $SB$ и плоскостью $SAD$.
Введём систему координат с центром в центре основания $O$. $A(-1,-1,0)$, $B(1,-1,0)$, $C(1,1,0)$, $D(-1,1,0)$, $S(0,0,h)$.
Из $SA^2=2+h^2=6\Rightarrow h=2$. Значит $S(0,0,2)$.
Направляющий вектор прямой $SB$: $\vec{SB}=(1,-1,-2)$, $|\vec{SB}|=\sqrt{6}$.
Нормаль плоскости $SAD$: точки $S(0,0,2)$, $A(-1,-1,0)$, $D(-1,1,0)$. Векторы $\vec{SA}=(-1,-1,-2)$, $\vec{SD}=(-1,1,-2)$. Нормаль $\vec n=\vec{SA}\times\vec{SD}=(4,0,-2)$, $|\vec n|=2\sqrt{5}$.
$\sin\varphi=\dfrac{|\vec{SB}\cdot\vec n|}{|\vec{SB}|\cdot|\vec n|}=\dfrac{|4+0+4|}{\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{5}}=\dfrac{8}{2\sqrt{30}}=\dfrac{4}{\sqrt{30}}$.
φ = arcsin(4 / √30)Составить опорный конспект на одну страницу:
Три вопроса на устный ответ перед началом занятия:
Задача №14 почти всегда состоит из двух пунктов: первый — доказательство, второй — численное вычисление. Доказательство — это половина баллов, поэтому игнорировать его нельзя.
Типовые формулировки доказательной части:
Доказать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Или: что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны.
Доказать, что прямая параллельна плоскости, либо что две плоскости параллельны.
Доказать, что точка $P$ принадлежит плоскости (или что три точки лежат на одной прямой).
Доказать, что угол между указанными прямыми (или плоскостями) равен $90°$.
Чтобы доказать, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$:
Чтобы доказать, что наклонная перпендикулярна прямой в плоскости:
Чтобы доказать, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны:
Двугранный угол — фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой (ребра).
Линейный угол двугранного угла — угол между двумя лучами, проведёнными в полуплоскостях из одной точки ребра перпендикулярно ребру.
Угол между плоскостями — это величина линейного угла двугранного угла, образованного этими плоскостями (берётся острый или прямой).
Координатный путь — через нормали плоскостей $\vec n_1$ и $\vec n_2$:
Модуль в числителе — потому что нас интересует острый (или прямой) угол: если нормали выбраны произвольно, без модуля можно получить тупой угол как «дополнение».
Нормаль плоскости через три её точки $A,B,C$ — вычисляется как векторное произведение:
В формуле через нормали — обязательно модуль. Без него можно получить тупой угол как ответ, тогда как по определению угол между плоскостями всегда $\leq 90°$.
Совет. Координаты выбирайте такими, чтобы как можно больше точек имели нули в координатах. Это резко упрощает все вычисления.
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ACC_1A_1$.
1) В квадрате $ABCD$ диагонали $BD$ и $AC$ перпендикулярны: $BD\perp AC$.
2) $AA_1\perp$ плоскости $ABCD$ (как ребро куба), значит $AA_1\perp BD$.
3) Прямые $AC$ и $AA_1$ лежат в плоскости $ACC_1A_1$ и пересекаются в точке $A$.
4) По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: $BD\perp(ACC_1A_1)$. ∎
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $a$, высота $h$. Найдите угол между боковой гранью $SBC$ и плоскостью основания.
Линия пересечения — ребро $BC$. Возьмём середину $M$ ребра $BC$ — она удобна.
В плоскости основания: $OM\perp BC$ (где $O$ — центр основания), $OM=\dfrac{a}{2}$.
В плоскости $SBC$: апофема $SM\perp BC$.
Значит линейный угол двугранного угла — это $\angle SMO$.
$\tan\angle SMO=\dfrac{SO}{OM}=\dfrac{h}{a/2}=\dfrac{2h}{a}$.
φ = arctan(2h / a)В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1$ найдите угол между плоскостями $A_1BD$ и $C_1BD$.
Координаты: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $C_1(1,1,1)$.
Нормаль к $A_1BD$: $\vec{BA_1}=(-1,0,1)$, $\vec{BD}=(-1,1,0)$.
$\vec n_1=\vec{BA_1}\times\vec{BD}=(0\cdot 0 - 1\cdot 1,\ 1\cdot(-1) - (-1)\cdot 0,\ (-1)\cdot 1 - 0\cdot(-1))=(-1,-1,-1)$.
Нормаль к $C_1BD$: $\vec{BC_1}=(0,1,1)$, $\vec{BD}=(-1,1,0)$.
$\vec n_2=\vec{BC_1}\times\vec{BD}=(1\cdot 0 - 1\cdot 1,\ 1\cdot(-1) - 0\cdot 0,\ 0\cdot 1 - 1\cdot(-1))=(-1,-1,1)$.
$\vec n_1\cdot\vec n_2=1+1-1=1$, $|\vec n_1|=|\vec n_2|=\sqrt{3}$.
$\cos\varphi=\dfrac{|1|}{3}=\dfrac{1}{3}$.
φ = arccos(1/3) ≈ 70.53°Все четыре ошибки — это не ошибки вычислений, а ошибки понимания определения. Понять их сейчас намного дешевле, чем потерять баллы на экзамене.
Ученик смотрит на чертёж, видит «красивый» угол между прямой и какой-нибудь линией в плоскости — и берёт его за угол с плоскостью.
Чаще всего это угол между прямой и не своей проекцией — например, ребром основания.
Угол строго определён: между прямой и её проекцией на плоскость.
Сначала постройте проекцию (опустив перпендикуляр), и только потом находите угол в прямоугольном треугольнике.
Ученик переходит к вычислениям, не показав на чертеже проекцию и основание перпендикуляра.
В результате — проверяющий не понимает, к какому треугольнику относится тригонометрия.
Проекция явно проводится пунктиром, основание перпендикуляра — точкой $H$ с подписью.
Угол отмечен дугой и обозначен (например, $\angle MAH$).
Подменяются понятия:
Каждый — со своей формулой и своим определением.
Перед вычислением — чётко проговорить, какой именно угол нужно найти, и записать его определение или формулу.
В координатном методе: $\cos$ для прямых и плоскостей, $\sin$ — для прямой и плоскости.
«Видно из чертежа, что $BD\perp AC$» — без указания, почему.
Эксперт не примет доказательство без ссылок на признаки и теоремы.
Каждый шаг сопровождается ссылкой: «по теореме о трёх перпендикулярах…», «по признаку перпендикулярности прямой и плоскости…», «как диагонали квадрата».
После двух занятий вы должны уметь:
Строить правильные сечения и проекции на плоскость.
Находить углы в пространстве — между прямой и плоскостью, между плоскостями.
Применять теорему о трёх перпендикулярах в обе стороны.
Решать задачи №14 геометрическим методом — с обоснованием каждого шага.
Решать задачи №14 координатным методом — через нормали и направляющие векторы.
Оформлять доказательства строго по критериям ЕГЭ.