Часть I · Задание 13 · Атлас типовых решений

Шесть задач, из которых выходят все остальные

Полный разбор канонических конструкций задания 13 ЕГЭ: углы между прямыми, прямой и плоскостью, между плоскостями; расстояния от точки до прямой, до плоскости, между скрещивающимися прямыми. Каждая задача — с интерактивной 3D-сценой и двумя параллельными решениями: геометрическим и координатным.

типов задач

метода решения

12+

вариаций в банке

Карта

Шесть канонических типов

Любая задача №13 сводится к одной из шести конструкций. Распознав тип, выбираем метод и подставляем числа.

A.1

Угол между скрещивающимися прямыми

Параллельный перенос одной прямой так, чтобы прямые пересеклись. Угол находится из треугольника по теореме косинусов.

Геометрия · Координаты

A.2

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и её проекцией на плоскость. В прямоугольном треугольнике — синус или тангенс.

Геометрия · Координаты

A.3

Угол между плоскостями

Двугранный угол через линейный: пересечение, перпендикуляры к ребру, треугольник.

Геометрия · Нормали

Б.1

Расстояние от точки до прямой

Через площадь треугольника: d = 2S/a. Или координатно — через векторное произведение.

Площадь · Векторы

Б.2

Расстояние от точки до плоскости

Метод объёмов: d = 3V/S. Или формула с нормалью плоскости в координатах.

Объём · Нормаль

Б.3

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Длина общего перпендикуляра. Геометрически — через построение, координатно — формула с тройным произведением.

Перпендикуляр · Векторы

Углы

Скрещивающиеся прямые, прямая и плоскость, две плоскости. Три задачи — три универсальные схемы построения линейного угла.

Тип A.1

Угол между скрещивающимися прямыми

Куб · параллельный перенос · теорема косинусов

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.

fig. A.1 потяните, чтобы повернуть

Построение

Геометрический метод

Параллельный перенос · теорема косинусов

Заметим, что AB₁ ∥ DC₁: оба отрезка — диагонали параллельных граней куба, направления совпадают.
Следовательно, угол между AB₁ и BC₁ равен углу между DC₁ и BC₁ — а они уже пересекаются в точке $C_1$.
Рассмотрим треугольник BDC₁. Его стороны — диагонали трёх граней куба: $BD = DC_1 = BC_1 = \sqrt{2}$.
Треугольник равносторонний, поэтому каждый его угол равен $60°$.

Ответ $60°$

Координатный метод

Скалярное произведение направляющих

Введём систему координат: $A=(0;0;0)$, ось $x$ вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, ось $z$ вдоль $AA_1$.
Тогда $A=(0;0;0)$, $B_1=(1;0;1)$, $B=(1;0;0)$, $C_1=(1;1;1)$. Направляющие векторы: $\vec{AB_1}=(1;0;1)$, $\vec{BC_1}=(0;1;1)$.
Косинус угла между прямыми: $$\cos\varphi=\frac{|\vec{AB_1}\cdot\vec{BC_1}|}{|\vec{AB_1}|\cdot|\vec{BC_1}|}=\frac{|0+0+1|}{\sqrt 2\cdot\sqrt 2}=\frac{1}{2}.$$
Откуда $\varphi=\arccos\tfrac12=60°$.

Ответ $60°$

Угол между прямой и плоскостью

Куб · проекция · прямоугольный треугольник

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между диагональю AC₁ и плоскостью основания ABCD.

fig. A.2 потяните, чтобы повернуть

Построение

Геометрический метод

Проекция на плоскость

Точка $A$ лежит в плоскости основания; проекцией точки $C_1$ на это основание является точка $C$ (так как $CC_1 \perp ABCD$).
Значит, проекция прямой $AC_1$ на основание — это прямая AC, и искомый угол — это $\angle C_1 A C$.
В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ ($\angle ACC_1 = 90°$): катет $CC_1=1$ (высота куба), катет $AC=\sqrt{2}$ (диагональ грани).
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: $$\operatorname{tg}\angle C_1AC=\frac{CC_1}{AC}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Ответ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Координатный метод

Синус через нормаль плоскости

$A=(0;0;0)$, $C_1=(1;1;1)$. Направляющий $\vec{AC_1}=(1;1;1)$, его длина $\sqrt{3}$.
Нормаль к плоскости $ABCD$ (плоскость $z=0$): $\vec n=(0;0;1)$.
Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющей и нормалью: $$\sin\varphi=\frac{|\vec{AC_1}\cdot\vec n|}{|\vec{AC_1}|\cdot|\vec n|}=\frac{1}{\sqrt 3}.$$
Тогда $\cos\varphi=\sqrt{1-\tfrac13}=\tfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}$, и $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 2}{2}.$

Ответ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Угол между плоскостями

Пирамида · линейный угол · нормали

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна $2$, боковое ребро равно $\sqrt{3}$. Найдите угол между плоскостями SBC и ABCD.

fig. A.3 потяните, чтобы повернуть

Построение

Геометрический метод

Линейный угол двугранного

Линия пересечения плоскостей $SBC$ и $ABCD$ — это ребро $BC$. Чтобы построить линейный угол, проведём в каждой плоскости перпендикуляр к $BC$ из одной точки.
Пусть $M$ — середина $BC$, $O$ — центр квадрата $ABCD$. Тогда $OM\perp BC$ (отрезок из центра в середину стороны квадрата) и $SM\perp BC$ (апофема боковой грани в равнобедренном треугольнике $SBC$).
Значит, линейный угол двугранного — это $\angle SMO$. Найдём катеты прямоугольного треугольника $SOM$ (угол $SOM=90°$, так как $SO\perp ABCD$).
Высота: $SO^2 = SA^2 - OA^2 = 3 - 2 = 1$, $SO=1$. Полуапофема: $OM = 1$ (половина стороны).
$\operatorname{tg}\angle SMO=\dfrac{SO}{OM}=\dfrac{1}{1}=1$, откуда $\angle SMO=45°$.

Ответ $45°$

Координатный метод

Угол между нормалями

Начало координат — в центре основания $O$. Оси: $x$ вдоль $\vec{OD}\to\vec{OA}$ направления, $y$ — перпендикулярно в плоскости основания, $z$ — вверх. Получаем $A=(1;-1;0)$, $B=(1;1;0)$, $C=(-1;1;0)$, $D=(-1;-1;0)$, $S=(0;0;1)$.
Нормаль к основанию $ABCD$ (плоскость $z=0$): $\vec{n_1}=(0;0;1)$.
Плоскость $SBC$: $\vec{SB}=(1;1;-1)$, $\vec{SC}=(-1;1;-1)$.
$\vec{n_2}=\vec{SB}\times\vec{SC}=(0;2;2)$, упростим до $(0;1;1)$.
$$\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}=\frac{|0+0+1|}{1\cdot\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2}{2}.$$
Откуда $\varphi=\arccos\tfrac{\sqrt 2}{2}=45°$.

Ответ $45°$

Расстояния

От точки до прямой, от точки до плоскости, между скрещивающимися прямыми. Три задачи — три универсальные формулы: через площадь, через объём, через смешанное произведение.

Тип Б.1

Расстояние от точки до прямой

Куб · площадь треугольника · векторное произведение

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние от точки A до прямой BD₁.

fig. Б.1 потяните, чтобы повернуть

Построение

Геометрический метод

Высота через удвоенную площадь

Расстояние от $A$ до прямой $BD_1$ — это высота треугольника $ABD_1$, опущенная из вершины $A$ на сторону $BD_1$.
Стороны треугольника: $AB=1$ (ребро), $AD_1=\sqrt{2}$ (диагональ грани), $BD_1=\sqrt{3}$ (диагональ куба).
Проверка: $AB^2+AD_1^2=1+2=3=BD_1^2$ — треугольник прямоугольный, $\angle A=90°$.
Площадь: $S=\tfrac12\cdot AB\cdot AD_1=\tfrac12\cdot 1\cdot\sqrt 2=\dfrac{\sqrt 2}{2}.$
Высота: $h=\dfrac{2S}{BD_1}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 6}{3}.$

Ответ $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Координатный метод

Векторное произведение

$A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $D_1=(0;1;1)$. Направляющий $\vec v=\vec{BD_1}=(-1;1;1)$, $|\vec v|=\sqrt 3$.
Вектор от точки прямой к данной точке: $\vec{BA}=(-1;0;0)$.
Векторное произведение: $$\vec{BA}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&0&0\\-1&1&1\end{vmatrix}=(0;1;-1).$$ Длина: $|\vec{BA}\times\vec v|=\sqrt 2.$
Формула расстояния: $$d=\frac{|\vec{BA}\times\vec v|}{|\vec v|}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\frac{\sqrt 6}{3}.$$

Ответ $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Расстояние от точки до плоскости

Пирамида · метод объёмов · уравнение плоскости

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна $2$, высота равна $1$. Найдите расстояние от точки A до плоскости SBC.

fig. Б.2 потяните, чтобы повернуть

Построение

Геометрический метод

Метод объёмов

Рассмотрим вспомогательный тетраэдр SABC. Его объём можно вычислить двумя способами и приравнять.
Первый способ. Основание — треугольник $ABC$ (половина квадрата): $S_{ABC}=\tfrac12\cdot 2\cdot 2=2$. Высота — $SO=1$. $$V_1=\tfrac13\cdot 2\cdot 1=\tfrac{2}{3}.$$
Второй способ. Основание — треугольник $SBC$, высота — искомое расстояние $d$ от $A$.
В $\triangle SBC$: $BC=2$, апофема $SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt 2$.
$S_{SBC}=\tfrac12\cdot 2\cdot\sqrt 2=\sqrt 2.$
Приравниваем: $\tfrac13\cdot\sqrt 2\cdot d=\tfrac23$, откуда $d=\dfrac{2}{\sqrt 2}=\sqrt 2.$

Ответ $\sqrt{2}$

Координатный метод

Уравнение плоскости + формула расстояния

Начало — в центре основания $O$. $A=(1;-1;0)$, $B=(1;1;0)$, $C=(-1;1;0)$, $D=(-1;-1;0)$, $S=(0;0;1)$.
Найдём нормаль к плоскости $SBC$: $$\vec{SB}=(1;1;-1),\ \vec{SC}=(-1;1;-1);$$ $$\vec n=\vec{SB}\times\vec{SC}=(0;2;2)\sim(0;1;1).$$
Уравнение плоскости: $0\cdot x+1\cdot y+1\cdot z=d_0.$ Подставим $S=(0;0;1)$: $d_0=1$. Плоскость: $y+z-1=0$.
Расстояние от $A=(1;-1;0)$ до плоскости: $$d=\frac{|y_A+z_A-1|}{\sqrt{0^2+1^2+1^2}}=\frac{|-1+0-1|}{\sqrt 2}=\frac{2}{\sqrt 2}=\sqrt 2.$$

Ответ $\sqrt{2}$

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Куб · общий перпендикуляр · смешанное произведение

В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние между прямыми AB₁ и BC₁.

fig. Б.3 потяните, чтобы повернуть

Построение

Геометрический метод

Через расстояние от точки до плоскости

Заметим, что $AB_1\parallel DC_1$ (как мы уже видели в задаче A.1). Тогда плоскость $BDC_1$ содержит прямую $BC_1$ и параллельна прямой $AB_1$.
Расстояние между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $BC_1$ равно расстоянию от любой точки прямой $AB_1$ до плоскости $BDC_1$. Возьмём точку $A$.
Используем метод объёмов для тетраэдра $ABDC_1$. Объём: через основание $ABD$ ($S=\tfrac12$) и высоту $CC_1=1$ (точка $C_1$ над плоскостью основания $ABD$): $V=\tfrac13\cdot\tfrac12\cdot 1=\tfrac16$.
Площадь $\triangle BDC_1$: треугольник равносторонний со стороной $\sqrt 2$, $S=\dfrac{(\sqrt 2)^2\sqrt 3}{4}=\dfrac{\sqrt 3}{2}.$
Расстояние от $A$ до плоскости $BDC_1$: $$d=\dfrac{3V}{S}=\dfrac{3\cdot \tfrac16}{\tfrac{\sqrt 3}{2}}=\dfrac{\tfrac12}{\tfrac{\sqrt 3}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 3}{3}.$$

Ответ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Координатный метод

Смешанное произведение / тройной определитель

$A=(0;0;0)$, $B_1=(1;0;1)$, $B=(1;0;0)$, $C_1=(1;1;1)$. Направляющие: $\vec u=\vec{AB_1}=(1;0;1)$, $\vec v=\vec{BC_1}=(0;1;1)$.
Соединяющий вектор: $\vec w=\vec{AB}=(1;0;0)$.
Общий перпендикуляр направлен по $\vec u\times\vec v$: $$\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&0&1\\0&1&1\end{vmatrix}=(-1;-1;1),\quad |\vec u\times\vec v|=\sqrt 3.$$
Формула расстояния через смешанное произведение: $$d=\frac{|(\vec w,\vec u,\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}=\frac{|\vec w\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}=\frac{|1\cdot(-1)+0+0|}{\sqrt 3}=\frac{1}{\sqrt 3}=\frac{\sqrt 3}{3}.$$

Ответ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Шесть формул координатного метода

Когда геометрическое построение упирается в нестандартное тело — переходим в координаты. Шесть формул закрывают все типы задач.

A.1Угол между прямыми

$$\cos\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}$$

u, v — направляющие векторы прямых. Модуль числителя обязателен: угол между прямыми всегда $\le 90°$.

A.2Прямая и плоскость

$$\sin\varphi=\frac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}$$

u — направляющая прямой, n — нормаль плоскости. Получаем синус, а не косинус: угол прямой с плоскостью — это угол с её проекцией.

A.3Угол между плоскостями

$$\cos\varphi=\frac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}$$

n₁, n₂ — нормали плоскостей. Получим через нормали: $\vec n=\vec{a}\times\vec{b}$, где $\vec a, \vec b$ — два вектора, лежащих в плоскости.

Б.1Точка и прямая

$$d=\frac{|\vec{MA}\times\vec v|}{|\vec v|}$$

A — данная точка, M — любая точка прямой, v — направляющий. Числитель — длина векторного произведения.

Б.2Точка и плоскость

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

Плоскость Ax+By+Cz+D=0, точка $(x_0,y_0,z_0)$. Найти $A, B, C$ — это найти нормаль; $D$ — подстановкой любой точки плоскости.

Б.3Скрещивающиеся прямые

$$d=\frac{|(\vec{M_1M_2},\vec{u},\vec{v})|}{|\vec u\times\vec v|}$$

u, v — направляющие, M₁, M₂ — по одной точке на каждой прямой. В числителе — модуль смешанного произведения (тройного определителя).

Стратегия

Какой метод выбирать

Геометрия — короче и красивее, координаты — надёжнее и универсальнее. Распознаём по признакам задачи.

Геометрия

Идём геометрически, если…

Тело простое: куб, правильная призма, правильная пирамида — там всё симметрично, перпендикуляры строятся естественно.
Видна параллельность: одну скрещивающуюся прямую можно перенести в плоскость другой.
Ответ ожидается «красивый» (вроде $30°, 45°, 60°$, $\sqrt 2$, $\tfrac{\sqrt 3}{2}$).
Расстояние можно найти через объём — особенно когда тетраэдр имеет очевидную высоту.
На экзамене дорого время: чертёж + два-три прямоугольных треугольника часто быстрее системы координат.

Координаты

Идём координатно, если…

Тело несимметричное: косая призма, тетраэдр без явных перпендикуляров, наклонное основание.
Точки заданы дробными отношениями («середина», «делит в отношении $1:2$») — векторами легче.
Нужно найти угол между плоскостями, и обе плоскости заданы тремя произвольными точками.
Чертёж получается мутным, проекции трудно «увидеть» — лучше переключиться на алгебру.
Расстояние между скрещивающимися прямыми — стандартно через смешанное произведение, без эквилибристики с плоскостями.

Шесть задач, из которых выходят все остальные

Шесть канонических типов

Угол между скрещивающимися прямыми

Угол между прямой и плоскостью

Угол между плоскостями

Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Углы

Построение

Геометрический метод

Координатный метод

Похожие задачи в банке

Построение

Геометрический метод

Координатный метод

Похожие задачи в банке

Построение

Геометрический метод

Координатный метод

Похожие задачи в банке

Расстояния

Построение

Геометрический метод

Координатный метод

Похожие задачи в банке

Построение

Геометрический метод

Координатный метод

Похожие задачи в банке

Построение

Геометрический метод

Координатный метод

Похожие задачи в банке

Шесть формул координатного метода

A.1Угол между прямыми

A.2Прямая и плоскость

A.3Угол между плоскостями

Б.1Точка и прямая

Б.2Точка и плоскость

Б.3Скрещивающиеся прямые

Какой метод выбирать

Идём геометрически, если…

Идём координатно, если…