Б.1
Мастер-класс Расстояние от точки до прямой
К Атласу №13
Тип Б.1 · Расширенный разбор

Расстояние от точки до прямой

Самый «треугольный» тип задачи №13. В основе — поиск высоты треугольника, опущенной на нужную сторону. Три метода: через площадь, через векторное произведение, через свойства частных треугольников. Базовая задача из Атласа + две похожие.

3
метода
3
задачи
1
треугольник
Главная формула типа Б.1 · Две стороны одной медали
$d=\dfrac{2 S_{\triangle PAB}}{|AB|}$
геометрически · через площадь
≡
$d=\dfrac{|\vec{AP}\times\vec{AB}|}{|\vec{AB}|}$
координатно · через векторное произведение
Это одна и та же формула, записанная двумя языками: длина векторного произведения $|\vec{AP}\times\vec{AB}|$ — это удвоенная площадь $2S_{\triangle PAB}$.
Часть I · Базовая задача

Точка A и диагональ BD₁ единичного куба

Один из самых частых сюжетов ЕГЭ: расстояние от вершины куба до пространственной диагонали, проходящей через противоположную диагональ.

Б.1 ★

Базовый сценарий — точка и пространственная диагональ

единичный куб · диагональ · прямоугольный треугольник
Дан единичный куб ABCDA₁B₁C₁D₁.
Найти расстояние от точки $A$ до прямой $BD_1$.
fig. Б.1 base потяните, чтобы повернуть
Шаги разбора
Три параллельных решения. Один ответ $\dfrac{\sqrt 6}{3}$, три точки зрения: чисто геометрическая (через площадь), координатная (через векторы) и «волшебная» (через свойство высоты прямоугольного треугольника).
I
Метод I · Через удвоенную площадь
$d = 2S / |BD_1|$ · универсально
  1. Идея метода. Расстояние от $A$ до прямой $BD_1$ — это длина высоты треугольника $ABD_1$, опущенной из вершины $A$ на сторону $BD_1$. Найдём площадь треугольника и применим формулу $h_a = \dfrac{2S}{a}$.
  2. Стороны треугольника $ABD_1$. Проследим, какие отрезки мы получаем в кубе:
    • · $AB = 1$ — ребро куба;
    • · $AD_1 = \sqrt 2$ — диагональ боковой грани $ADD_1A_1$;
    • · $BD_1 = \sqrt 3$ — пространственная диагональ куба.
  3. Тип треугольника. Проверим теорему Пифагора: $$AB^2+AD_1^2=1^2+(\sqrt 2)^2=1+2=3=(\sqrt 3)^2=BD_1^2.$$ Значит треугольник прямоугольный, причём прямой угол — при вершине $A$.
  4. Площадь треугольника. Катеты $AB$ и $AD_1$, гипотенуза $BD_1$. $$S_{\triangle ABD_1}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AD_1=\dfrac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt 2=\dfrac{\sqrt 2}{2}.$$
  5. Финальная формула. $$d=\dfrac{2S}{BD_1}=\dfrac{2\cdot\tfrac{\sqrt 2}{2}}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 2\cdot\sqrt 3}{3}=\dfrac{\sqrt 6}{3}.$$
Ответ метода I $d=\dfrac{\sqrt 6}{3}$
Почему именно ABD₁ Чтобы найти расстояние от $A$ до прямой $\ell$, всегда строим треугольник с одной вершиной в $A$ и двумя — на $\ell$. Здесь $\ell = BD_1$, поэтому естественный выбор — треугольник $ABD_1$. Этим методом решается любая задача типа Б.1.
II
Метод II · Векторное произведение
координаты + формула $|\vec{BA}\times\vec v|/|\vec v|$
  1. Введём координаты. Поставим начало в $A$: $$A=(0;0;0),\ B=(1;0;0),\ D=(0;1;0),\ A_1=(0;0;1),\ D_1=(0;1;1).$$
  2. Направляющий вектор прямой $BD_1$. $$\vec v=\vec{BD_1}=D_1-B=(0-1;\ 1-0;\ 1-0)=(-1;\ 1;\ 1).$$ Длина: $|\vec v|=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt 3$.
  3. Вектор от точки прямой к данной точке. Возьмём $B$ как «опорную» точку на прямой: $$\vec{BA}=A-B=(-1;\ 0;\ 0).$$
  4. Векторное произведение. $$\vec{BA}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&0&0\\-1&1&1\end{vmatrix}=\vec i(0\cdot 1-0\cdot 1)-\vec j((-1)\cdot 1-0\cdot(-1))+\vec k((-1)\cdot 1-0\cdot(-1))=(0;\ 1;\ -1).$$ Длина: $|\vec{BA}\times\vec v|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt 2$.
  5. Расстояние. $$d=\dfrac{|\vec{BA}\times\vec v|}{|\vec v|}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 6}{3}.$$
Ответ метода II $d=\dfrac{\sqrt 6}{3}$
Почему работает Длина $|\vec{BA}\times\vec v|$ — это площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{BA}$ и $\vec v$. Эта же площадь равна $|\vec v|\cdot h$, где $h$ — высота параллелограмма из вершины $A$ — то есть искомое расстояние. Отсюда формула.
III
Метод III · Высота прямоугольного треугольника
$h = \dfrac{ab}{c}$ — из прямого угла на гипотенузу
  1. Ключевое наблюдение. В треугольнике $ABD_1$ при вершине $A$ прямой угол: рёбра $AB$ и $AD_1$ перпендикулярны (это ребро куба и диагональ боковой грани, лежащей в плоскости $ADD_1A_1$, перпендикулярной $AB$).
  2. Лемма. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу: $$h=\dfrac{a\cdot b}{c}.$$ Это следствие двух равенств для площади: $S=\tfrac12 ab=\tfrac12 ch$.
  3. Подставим катеты и гипотенузу. $a=AB=1$, $b=AD_1=\sqrt 2$, $c=BD_1=\sqrt 3$. $$d=h=\dfrac{1\cdot\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 3}=\dfrac{\sqrt 6}{3}.$$
Ответ метода III $d=\dfrac{\sqrt 6}{3}$
Когда применять Эта формула — самый быстрый способ, если получившийся треугольник прямоугольный, причём прямой угол попал именно в той вершине, из которой опускается высота. В кубе это почти всегда так: любые два «соседних» отрезка (ребро + диагональ грани) дают прямой угол.
Сравнение методов
I · Через площадь

Универсально и наглядно. Работает в любом треугольнике, даже если он не правильной формы.

всегда работает нужно считать площадь
II · Векторы

Чисто механично. Если координаты «целые» — самый надёжный путь без геометрических озарений.

всегда работает внимательно с матрицей
III · Через прямой угол

Самый короткий путь, когда треугольник прямоугольный. В кубах это случается почти всегда.

очень быстро требует наблюдательности
Часть II · Похожая задача I

Куб: A₁ и диагональ BD

Тот же куб, но «зеркальный» сценарий: точка наверху, прямая в основании. И — приятный бонус: треугольник оказывается равносторонним.

№1 ∼

Куб и диагональ основания снизу

единичный куб · равносторонний треугольник
В единичном кубе ABCDA₁B₁C₁D₁.
Найти расстояние от точки $A_1$ до прямой $BD$.
fig. ∼ I потяните, чтобы повернуть
Шаги разбора
I
Метод I · Через удвоенную площадь
треугольник $A_1BD$ — три диагонали граней
  1. Стороны треугольника $A_1BD$. Заметим, что все три отрезка — диагонали граней единичного куба:
    • · $A_1B$ — диагональ грани $ABB_1A_1$, $|A_1B|=\sqrt 2$;
    • · $A_1D$ — диагональ грани $ADD_1A_1$, $|A_1D|=\sqrt 2$;
    • · $BD$ — диагональ грани $ABCD$, $|BD|=\sqrt 2$.
  2. Треугольник равносторонний. Все три стороны равны $\sqrt 2$.
  3. Площадь равностороннего треугольника. $$S_{\triangle A_1BD}=\dfrac{(\sqrt 2)^2\sqrt 3}{4}=\dfrac{2\sqrt 3}{4}=\dfrac{\sqrt 3}{2}.$$
  4. Применим формулу. $$d=\dfrac{2S}{BD}=\dfrac{2\cdot\tfrac{\sqrt 3}{2}}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 6}{2}.$$
Ответ метода I $d=\dfrac{\sqrt 6}{2}$
II
Метод II · Векторное произведение
координаты и нормаль
  1. Координаты. $A_1=(0;0;1)$, $B=(1;0;0)$, $D=(0;1;0)$.
  2. Направляющий вектор прямой $BD$. $$\vec v=\vec{BD}=D-B=(-1;\ 1;\ 0),\ \quad |\vec v|=\sqrt 2.$$
  3. Вектор от $B$ к данной точке. $$\vec{BA_1}=A_1-B=(-1;\ 0;\ 1).$$
  4. Векторное произведение. $$\vec{BA_1}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&0&1\\-1&1&0\end{vmatrix}=\vec i(0-1)-\vec j(0-(-1))+\vec k(-1-0)=(-1;-1;-1).$$ Длина: $|\vec{BA_1}\times\vec v|=\sqrt 3$.
  5. Расстояние. $$d=\dfrac{\sqrt 3}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt 6}{2}.$$
Ответ метода II $d=\dfrac{\sqrt 6}{2}$
III
Метод III · Высота равностороннего треугольника
$h = \dfrac{a\sqrt 3}{2}$ — формула в один шаг
  1. Распознаём фигуру. Треугольник $A_1BD$ — равносторонний со стороной $\sqrt 2$ (установлено в методе I).
  2. Высота равностороннего треугольника. Формула: $h=\dfrac{a\sqrt 3}{2}$. В равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, и каждая из них имеет эту длину.
  3. Подставим $a=\sqrt 2$. $$d=h=\dfrac{\sqrt 2\cdot\sqrt 3}{2}=\dfrac{\sqrt 6}{2}.$$
Ответ метода III $d=\dfrac{\sqrt 6}{2}$
Геометрическая красота Это решение в одну строчку: после того как мы заметили, что треугольник равносторонний, осталось подставить число в готовую школьную формулу. Узнавать «правильные» треугольники в кубе — навык, который окупается на ЕГЭ многократно.
Часть III · Похожая задача II

Призма: A₁ и ребро BC

Не куб, а правильная треугольная призма с высотой $\sqrt 3$. Треугольник $A_1BC$ — равнобедренный. И ещё короче решается через теорему о трёх перпендикулярах.

№2 ∼

Треугольная призма и ребро основания

правильная призма · сторона 1 · высота √3
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна $1$, а высота призмы равна $\sqrt 3$.
Найти расстояние от точки $A_1$ до прямой $BC$.
fig. ∼ II потяните, чтобы повернуть
Шаги разбора
I
Метод I · Через удвоенную площадь
равнобедренный треугольник $A_1BC$
  1. Стороны треугольника $A_1BC$.
    • · $BC=1$ — сторона основания;
    • · $A_1B$ — гипотенуза в прямоугольном $\triangle ABA_1$ ($AB=1$, $AA_1=\sqrt 3$, угол при $A$ прямой): $|A_1B|=\sqrt{1+3}=2$;
    • · $A_1C$ — гипотенуза в прямоугольном $\triangle ACA_1$ ($AC=1$, $AA_1=\sqrt 3$): $|A_1C|=2$.
  2. Треугольник равнобедренный. $A_1B=A_1C=2$, $BC=1$. Боковые стороны равны, основание $1$.
  3. Площадь. Опустим высоту из $A_1$ на $BC$ — она попадает в середину $M$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $A_1B=2$ и катетом $BM=\tfrac12$: $$A_1M=\sqrt{4-\tfrac14}=\sqrt{\tfrac{15}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.$$ $$S_{\triangle A_1BC}=\tfrac12\cdot BC\cdot A_1M=\tfrac12\cdot 1\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{2}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}.$$
  4. Финал. $$d=\dfrac{2S}{BC}=\dfrac{2\cdot\tfrac{\sqrt{15}}{4}}{1}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.$$
Ответ метода I $d=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Маленький трюк В равнобедренном треугольнике высота на основание совпадает с расстоянием от противолежащей вершины до этого основания (потому что основание — это сторона $BC$, а нам нужна высота из $A_1$ именно на $BC$). Поэтому шаг с площадью на самом деле не требуется — высота уже найдена.
II
Метод II · Векторное произведение
координаты призмы
  1. Координаты. $A=(0;0;0)$, $B=(1;0;0)$, $C=\Bigl(\tfrac12;\,\tfrac{\sqrt 3}{2};\,0\Bigr)$, $A_1=(0;0;\sqrt 3)$.
  2. Направляющий $\vec v=\vec{BC}$. $$\vec v=C-B=\Bigl(-\tfrac12;\,\tfrac{\sqrt 3}{2};\,0\Bigr),\ |\vec v|=1.$$
  3. Вектор $\vec{BA_1}$. $$\vec{BA_1}=A_1-B=(-1;\ 0;\ \sqrt 3).$$
  4. Векторное произведение. $$\vec{BA_1}\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-1&0&\sqrt 3\\-\tfrac12&\tfrac{\sqrt 3}{2}&0\end{vmatrix}=\vec i\Bigl(0\cdot 0-\sqrt 3\cdot\tfrac{\sqrt 3}{2}\Bigr)-\vec j\Bigl((-1)\cdot 0-\sqrt 3\cdot(-\tfrac12)\Bigr)+\vec k\Bigl((-1)\cdot\tfrac{\sqrt 3}{2}-0\cdot(-\tfrac12)\Bigr)$$ $$=\Bigl(-\tfrac{3}{2};\ -\tfrac{\sqrt 3}{2};\ -\tfrac{\sqrt 3}{2}\Bigr).$$ Длина: $$\Bigl|\vec{BA_1}\times\vec v\Bigr|=\sqrt{\tfrac{9}{4}+\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{4}}=\sqrt{\tfrac{15}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.$$
  5. Расстояние. $$d=\dfrac{\sqrt{15}/2}{1}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.$$
Ответ метода II $d=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
III
Метод III · Теорема о трёх перпендикулярах
основание перпендикуляра ↔ основание проекции
  1. Идея ТТП. Точка $A_1$ проектируется на плоскость основания в точку $A$ (поскольку $AA_1\perp ABC$). Тогда основание перпендикуляра из $A_1$ на прямую $BC$ совпадает с основанием перпендикуляра из $A$ на $BC$ — это теорема о трёх перпендикулярах.
  2. Перпендикуляр из $A$ на $BC$ в основании. Треугольник $ABC$ — равносторонний со стороной $1$. Медиана $AM$ (где $M$ — середина $BC$) одновременно и высота, $|AM|=\dfrac{\sqrt 3}{2}$. Значит $AM\perp BC$ и $M$ — основание перпендикуляра.
  3. Длина $A_1M$. Так как $AA_1\perp ABC$, то $AA_1\perp AM$. В прямоугольном $\triangle A_1AM$ с катетами $AM=\dfrac{\sqrt 3}{2}$ и $AA_1=\sqrt 3$: $$A_1M=\sqrt{AM^2+AA_1^2}=\sqrt{\tfrac{3}{4}+3}=\sqrt{\tfrac{15}{4}}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}.$$
  4. Это и есть искомое расстояние. $A_1M\perp BC$ (по ТТП), значит $|A_1M|=d$.
Ответ метода III $d=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$
Самый универсальный приём ТТП — это золотой ключик ко всем задачам типа Б.1 в призмах и пирамидах с осью, перпендикулярной основанию. Алгоритм: (1) опусти точку в основание; (2) в основании найди перпендикуляр к нужной прямой; (3) «возьми его в руки и подними обратно вверх» через теорему Пифагора с боковым ребром.
Часть IV · Алгоритм

Как подступиться к задаче типа Б.1

Пять шагов от условия к ответу. Подходит для пирамид, призм, кубов, параллелепипедов — в любых конструкциях.

1

Постановка

Выделить точку $P$ и прямую $\ell$, заданную двумя точками $A, B$. Перерисовать чертёж так, чтобы они были хорошо видны.

2

Треугольник

Соединить $P$ с $A$ и с $B$. Получается треугольник $PAB$. Расстояние $d$ = высота из $P$.

3

Опознать тип

Прямоугольный? Равнобедренный? Равносторонний? — Запас формул увеличивается. В кубе почти всегда оказывается прямоугольным.

4

Считать стороны

Найти длины $|PA|, |PB|, |AB|$ — обычно через Пифагора в гранях. Проверить теорему Пифагора для треугольника.

5

Применить формулу

Через площадь: $d=\dfrac{2S}{|AB|}$. Или сразу — высота из прямого угла, или высота равностороннего. Записать «Ответ:».

Памятка

Высоты в частных треугольниках

Три типичных «удачных» треугольника, которые в задачах Б.1 встречаются почти всегда. Узнал — решил в одну строку.

Прямоугольный

высота из прямого угла на гипотенузу
$h=\dfrac{a\cdot b}{c}$

$a,b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Следствие из двух формул площади. Главный приём в кубических задачах.

Равносторонний

любая высота
$h=\dfrac{a\sqrt 3}{2}$

$a$ — сторона. Высота, медиана и биссектриса совпадают. В кубе появляется на $\triangle A_1BD$ и подобных.

Равнобедренный

высота к основанию $b$, боковые $a$
$h=\sqrt{a^2-\tfrac{b^2}{4}}$

Прямая теорема Пифагора в половинке. Появляется в призмах и пирамидах с осью симметрии.

Часть V · Рекомендации

Когда какой метод выбирать

Шесть карточек: для решения, проверки и того, чтобы не попасться на типовых ловушках.

I · ПлощадьКогда работает

Универсальный «рабочий конь» Б.1. Особенно силён, если:

  • Треугольник имеет частную форму — прямоугольный, равносторонний, равнобедренный.
  • Площадь вычисляется одним движением через готовую формулу.
  • Гипотенуза/основание — это очевидная диагональ или ребро.
$d=\dfrac{2S_{\triangle PAB}}{|AB|}$

II · ВекторыКогда работает

Метод выбора, если:

  • Фигура естественно встаёт в прямоугольную систему координат.
  • Все координаты — целые или с одной квадратной иррациональностью.
  • Векторное произведение даёт «чистый» вектор без дробей.
$d=\dfrac{|\vec{AP}\times\vec{AB}|}{|\vec{AB}|}$

III · ТТПКогда работает

Идеален для призм и пирамид с вертикальной осью:

  • Точка $P$ — наверху (на верхнем основании или на боковом ребре).
  • Прямая $\ell$ — в нижнем основании.
  • Можно опустить $P$ перпендикулярно и работать в основании.
$|PM|^2=|P_{\downarrow}M|^2+|PP_{\downarrow}|^2$

ГраблиЧего избегать

Типичные ошибки при решении Б.1:

  • Перепутать прямую с отрезком и считать «крайнее» расстояние вместо высоты.
  • Не заметить, что треугольник прямоугольный, и считать площадь через Герона.
  • Использовать скалярное произведение вместо векторного.
  • Забыть рационализировать знаменатель в финальном ответе.

ТрюкПамятка по кубу

В единичном кубе три самых «расхожих» расстояния:

  • от вершины до пространственной диагонали из соседней вершины: $\dfrac{\sqrt 6}{3}$ (базовая Б.1);
  • от вершины до диагонали противоположной грани: $\dfrac{\sqrt 6}{2}$ (похожая I);
  • от вершины до пространственной диагонали из самой себя: $0$ (она в неё попадает).

Знание этих чисел экономит время на ЕГЭ.

ПроверкаКонтроль ответа

Прежде чем записать «Ответ:», проверь:

  • Решить вторым методом независимо. В Б.1 это особенно дёшево — оба метода занимают несколько строк.
  • Прикинуть порядок: в единичном кубе разумные расстояния $\in [0{,}3;\,1{,}5]$. Если получилось $5$ — ошибка.
  • Численная подстановка с приближёнными корнями: $\sqrt 6\approx 2{,}449$, $\sqrt{15}\approx 3{,}873$.