3.3
Базовая ставка Модуль · Глава 3 Байес
К Главе 3
3.3
Модуль 3.3 · Базовая ставка

Тест точный — вывод нет

Болезнь встречается у $1\%$ людей. Тест ловит её в $90\%$ случаев и лишь в $9\%$ тревожится зря. Ваш результат положительный. Интуиция кричит «девяносто», правильный ответ — около девяти процентов. Этот модуль — про число, которое интуиция выбрасывает первым: базовую ставку.

Насколько редка болезнь? 1% база: доля больных (шкала до 50%) порог 9% истинные тревоги 9 ложные тревоги 89 болен при положительном тесте: 9,2%
Тяните бегунок базы: из 1000 человек тревоги пересчитываются — и видно, кто кого заглушает.

Положительный сигнал о редком событии тонет в ложных тревогах от массы обычных.

Суть базовой ставки
Раздел 1 · Парадокс

Куда исчезают 81 процент

Между «точностью теста 90%» и «вероятностью болезни 9%» нет противоречия — есть проигнорированный приор.

Почему интуиция ошибается

  • Инверсная подмена. «Точность $90\%$» — это $P(\text{сигнал} \mid \text{болен})$; вопрос пациента — $P(\text{болен} \mid \text{сигнал})$. Модуль $3.2$ предупреждал: между ними стоит приор.
  • Приор крошечный. До теста шанс болезни был $1\%$ — и одно наблюдение, даже хорошее, не обязано дотащить его до девяноста.
  • Это не школьная экзотика. Эдди давал эту задачу врачам: большинство отвечало «около $75$–$90\%$» — ошибаясь на порядок в вопросе из собственной практики.
Раздел 2 · Разбор

Тысяча человек в одной строке

Натуральные частоты из 3.2 делают парадокс прозрачным за десять секунд.

Считаем штуками

из 1000 человек больны 10 тест поймает 9 из больных и зря встревожит 89 из 990 здоровых

Положительных результатов всего $9 + 89 = 98$, и лишь $9$ из них — настоящие: $9/98 \approx 9\%$. Здоровых в девяносто девять раз больше, и их редкие ошибки численно заглушают частые попадания у больных.

То же — формулой Байеса $$P(H \mid +) = \frac{0{,}9 \cdot 0{,}01}{0{,}9 \cdot 0{,}01 + 0{,}09 \cdot 0{,}99} = \frac{0{,}009}{0{,}0981} \approx 9{,}2\%$$

Числитель — истинные тревоги, знаменатель — все тревоги. Базовая ставка $0{,}01$ сидит в обоих и решает исход.

Раздел 3 · Интерактив

Сосчитайте тревоги

Четыре вопроса на главный навык: видеть базу до того, как верить сигналу.

Интерактив · 4 вопроса

База против сигнала

Каждый раз начинайте с фразы: «представим 1000 человек».

Верно: 0 / 4

1Почему положительный тест на редкую болезнь — чаще ложная тревога?

2База $1\%$, тест $90\%/9\%$. Из $1000$ человек сколько истинных и ложных тревог?

3При какой базовой ставке положительный результат этого теста — «фифти-фифти»?

4Что делает положительный результат по-настоящему доказательным?

Раздел 4 · Порог

Когда сигналу можно верить

У каждого теста есть база, начиная с которой его «да» весит больше его ложных тревог.

Порог фифти-фифти

  • Равенство тревог. Истинные тревоги $0{,}9\,b$ догоняют ложные $0{,}09\,(1-b)$ при $b = 0{,}09/0{,}99 \approx 9{,}1\%$ — засечка на шкале иллюстрации. Ниже порога положительный результат — скорее шум, выше — скорее сигнал.
  • Поэтому существуют группы риска. Скрининг «всех подряд» при базе $1\%$ топит врача в ложных тревогах; тот же тест в группе с симптомами (база $25\%$) даёт уже $\approx 77\%$ — подвигайте бегунок и убедитесь.
  • Второй независимый тест поднимает приор ступенькой: апостериорная первого становится базой второго. Это и есть последовательное обновление — Модуль $3.4$.
Раздел 5 · База в жизни

Тот же парадокс без халата

Ошибка базовой ставки живёт далеко за пределами медицины.

Где её искать

  • «Детектор лжи» и опознание. Метод, «точный на 90%», применённый к массе невиновных, выдаёт толпу ложных подозреваемых — версия ошибки прокурора из $3.2$.
  • Задача о такси Канемана и Тверски: свидетель различает цвета такси в $80\%$ случаев, но если синих такси в городе $15\%$, его «это было синее» — далеко не приговор: люди в экспериментах массово игнорируют эти $15\%$.
  • Бытовая версия. «Он не ответил — обиделся?» Сигнал совместим с обидой, но база занятости в разы выше базы обиды: чаще человек просто занят.
  • Защита одна: прежде чем верить сигналу, спросить «а как часто это вообще бывает?» — и пересчитать в тысяче случаев.
Раздел 6 · Итог

Число, которое решает

База — это приор формулы Байеса; забыть её — значит отвечать не на тот вопрос.

Связь с курсом

  • Модуль $3.2$: базовая ставка — драматичный частный случай инверсной ошибки.
  • Модуль $3.4$: повторные независимые сигналы поднимают приор шаг за шагом.
  • Глава $5$: чтение скринингов и статей о «точных тестах» — прямое применение.
  • Модуль $6.2$: апостериорные вероятности — честные входы для ветвей дерева решений.

Главное. При базе $1\%$ и тесте $90\%/9\%$ положительный результат означает болезнь лишь в $\approx 9\%$ случаев: $9$ истинных тревог против $89$ ложных из тысячи. Порог доверия этому тесту — база $\approx 9\%$: ниже сигнал тонет в шуме. Защита — всегда начинать с вопроса «как часто это вообще бывает?» и считать в натуральных частотах.

Что забрать из модуля 3.3

$I$База — это приор: «как часто это вообще бывает» обязано входить в вывод первым.
$II$Парадокс теста: $1\%$ базы $+$ тест $90\%/9\%$ = всего $\approx 9\%$ болезни при положительном результате.
$III$Механика: $9$ истинных тревог тонут в $89$ ложных — массу здоровых не перекричать.
$IV$Порог доверия: для этого теста — база $\approx 9\%$; группы риска существуют ровно поэтому.
$V$Защита: «представим 1000 случаев» — частоты делают невидимую базу осязаемой.
Проверь себя0 / 5

Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.

Источники
  1. Eddy D. (1982). Probabilistic Reasoning in Clinical Medicine. В сб. Judgment under Uncertainty (Kahneman, Slovic, Tversky, eds.). поиск источника
  2. Kahneman D., Tversky A. (1973). On the Psychology of Prediction. Psychological Review. поиск источника
  3. Gigerenzer G. (2002). Calculated Risks: How to Know When Numbers Deceive You. Simon & Schuster. поиск источника

Образовательный материал. Все числа ($9/89$; $9{,}2\%$; порог $9{,}1\%$; центр слайдера $225/68$ → $76{,}9\%$) проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.

↑ Наверх