3.2
Формула Байеса Модуль · Глава 3 Байес
К Главе 3
3.2
Модуль 3.2 · Формула Байеса

Правило пересчёта веры

Модуль $3.1$ научил выражать уверенность числом. Теперь — главный механизм главы: как это число обязано измениться, когда приходит новое свидетельство. У пересчёта есть точная формула, и ей двести шестьдесят лет.

Сосед вошёл с мокрым зонтом. Дождь? 30% вера до зонта 30% вера после 88,5% мокрый зонт: 90% в дождь и лишь 5% в сухой день
Тяните бегунок приора: свидетельство одно и то же, а вывод зависит от того, во что вы верили до него.

Новое свидетельство не заменяет старую веру — оно её взвешенно пересчитывает.

Суть теоремы Байеса
Раздел 1 · Зачем

От числа — к движению числа

Уверенность, которая не умеет меняться, — это упрямство с процентами.

Чего не хватает калибровке

  • Статика есть. После $3.1$ вы говорите «$70\%$» вместо «скорее всего» — уже честнее.
  • Нужна динамика. Пришёл пробник, ответ друга, результат теста — на сколько сдвинуть $70\%$? «На глаз» Система 1 сдвигает либо слишком сильно (паника), либо никак (упрямство).
  • Формула — это дисциплина сдвига. Теорема Байеса говорит точно: новая вера пропорциональна старой вере, умноженной на то, насколько свидетельство ожидаемо при гипотезе.
Раздел 2 · Формула

Три слова и одна дробь

Априорная вера, правдоподобие свидетельства — и апостериорная вера на выходе.

Теорема Байеса

Правило пересчёта $$P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\,P(H)}{P(E)}, \qquad P(E) = P(E \mid H)P(H) + P(E \mid \neg H)P(\neg H)$$

$P(H)$ — априорная: вера до свидетельства. $P(E \mid H)$ — правдоподобие: насколько свидетельство ожидаемо, если гипотеза верна. $P(H \mid E)$ — апостериорная: вера после. Знаменатель — полная вероятность свидетельства по обеим версиям мира.

Пример с зонтом. Вера в дождь до всего: $P(H) = 30\%$. Сосед вошёл с мокрым зонтом: в дождь это случается с вероятностью $90\%$, в сухой день — $5\%$ (лужа, поливалка). Считаем: $P(E) = 0{,}9 \cdot 0{,}3 + 0{,}05 \cdot 0{,}7 = 0{,}305$, и $P(H \mid E) = 0{,}27 / 0{,}305 \approx 88{,}5\%$. Вера выросла с $30$ до $88{,}5$ — сильно, но не до ста: сухие объяснения зонта никуда не делись.

Раздел 3 · Интерактив

Пересчитайте сами

Четыре вопроса на словарь и механику формулы.

Интерактив · 4 вопроса

Приор, улика, вывод

Держите в голове дробь: старая вера × правдоподобие, делённые на полную вероятность улики.

Верно: 0 / 4

1Что обозначает запись $P(H \mid E)$?

2Априорная вероятность $P(H)$ — это:

3Приор дождя $30\%$; мокрый зонт случается в $90\%$ дождливых и $5\%$ сухих дней. Вера после зонта?

4Чем $P(E \mid H)$ отличается от $P(H \mid E)$?

Раздел 4 · Частоты

Та же формула на пальцах

Гигеренцер показал: люди ошибаются в вероятностях, но хорошо считают людей и дни. Переведите задачу в штуки.

Натуральные частоты

из 1000 дней 300 дождливых → 270 мокрых зонтов 700 сухих → 35 мокрых зонтов

Видите мокрый зонт — вы в одном из $270 + 35 = 305$ «зонтовых» дней. Дождливых среди них $270$, то есть $270/305 \approx 88{,}5\%$ — ровно тот же ответ, что у дроби Байеса, но без единой формулы. Эксперименты Гигеренцера и Хоффраге показали: в частотном виде байесовские задачи решает в разы больше людей. Приём универсален: любую задачу этой главы начинайте со слов «представим 1000 случаев».

Раздел 5 · Инверсия

Самая дорогая путаница

Половина громких ошибок с вероятностями — это перепутанные местами буквы в условной вероятности.

Инверсная ошибка

  • «Тест точен на 90%» — это $P(E \mid H)$: вероятность сигнала, если гипотеза верна. Это не ответ на ваш вопрос.
  • Ваш вопрос — $P(H \mid E)$: вероятность гипотезы, если сигнал получен. Между ними — приор, и он может развести их в разы.
  • В зале суда эта путаница зовётся ошибкой прокурора: «вероятность такого совпадения у невиновного — один на миллион» звучит как приговор, но без приора не значит почти ничего. Модуль $3.5$ разберёт силу улик подробно.

Следующий модуль покажет самый драматичный случай инверсии: положительный тест на редкую болезнь, где $P(E \mid H) = 90\%$, а $P(H \mid E)$ — меньше десяти.

Раздел 6 · Итог

Дробь, которая двигает веру

Формула Байеса — арифметика честной смены мнения.

Связь с курсом

  • Модуль $3.1$: формула работает с числовой уверенностью — без неё пересчитывать нечего.
  • Глава $2$: знаменатель $P(E)$ — обычная полная вероятность.
  • Модуль $3.3$: что происходит, когда приор крошечный, — базовая ставка решает всё.
  • Модуль $6.5$: журнал прогнозов — тренажёр, где каждое обновление можно сверить с исходом.

Главное. $P(H \mid E) = P(E \mid H)P(H)/P(E)$: новая вера — это старая вера, взвешенная правдоподобием свидетельства. В примере с зонтом $30\%$ превращаются в $88{,}5\%$, и тот же ответ даёт счёт в натуральных частотах ($270$ из $305$). Не путайте направления условной вероятности: $P(E \mid H)$ и $P(H \mid E)$ — разные величины, и между ними стоит приор.

Что забрать из модуля 3.2

$I$Три слова: априорная вера → правдоподобие свидетельства → апостериорная вера.
$II$Формула: $P(H \mid E) = P(E \mid H)\,P(H)/P(E)$ — свидетельство пересчитывает веру, а не заменяет её.
$III$Зонт: приор $30\%$ + улика ($90\%$ против $5\%$) = $88{,}5\%$, и не сто.
$IV$Натуральные частоты: «представим 1000 случаев» — та же математика, решаемая в уме.
$V$Не инвертируйте: $P(E \mid H) \ne P(H \mid E)$ — между ними стоит приор.
Проверь себя0 / 5

Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.

Источники
  1. Bayes T., Price R. (1763). An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions. поиск источника
  2. Gigerenzer G., Hoffrage U. (1995). How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction: Frequency Formats. Psychological Review. поиск источника
  3. McGrayne S. (2011). The Theory That Would Not Die. Yale University Press. поиск источника

Образовательный материал. Все числа примера ($0{,}305$; $88{,}5\%$; частоты $270/35$; центр слайдера $94{,}7\%$) проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.

↑ Наверх