Исход зависит не только от вас

Два типа неопределённости

• Решение против природы. Дождь, пробка из-за ремонта, сложность варианта на экзамене: мир не подстраивается под ваш выбор. Здесь работает арсенал Глав $3$ и $6$ — вероятности, базы, деревья решений.
• Игра против думающих. Торг о цене, делёж обязанностей по проекту, выбор «модного» предмета ЕГЭ при конкурсе на бюджет: другие участники реагируют на ваши ходы и предугадывают их. Прогноз «что он сделает» зависит от того, что он прогнозирует про вас.
• Коварный гибрид — пробки. Кажется природой, но это игра тысяч водителей: все выбирают «свободный» маршрут — и он перестаёт быть свободным. Навигатор, который видят все, меняет саму игру.
• Регресс «я думаю, что он думает, что я думаю…» пугает бесконечностью. Теория игр обрывает его одним вопросом: какие пары ходов устойчивы сами по себе? Ответ — через два раздела.

Три вопроса разметки

• Игроки — все, чьи выборы влияют на исход: вы и брат при дележе комнаты; четыре человека в групповом проекте; вы и продавец.
• Стратегии — полные планы действий: «вкладываюсь / халявлю», «уступаю до $3000$ / стою на $4000$», «мою посуду по чётным».
• Выплаты — не только деньги. Это итоговая ценность исхода в одной шкале: время, нервы, оценка, удовольствие, репутация. В «кино или катке» цифры $2$, $1$, $0$ — про радость вечера, а не рубли. Честно разметить выплаты — половина анализа: люди «иррациональны» чаще всего потому, что мы неверно угадали, что для них ценно.

Клетки, из которых не уходят

• Лучший ответ — ваша стратегия, дающая максимум при фиксированном ходе другого. Друг идёт в кино? Ваш лучший ответ — кино: $2$ против $0$. Друг на катке? Лучший ответ — каток: $1$ против $0$.
• Равновесие Нэша — клетка взаимных лучших ответов: никому не выгодно отклоняться в одиночку. «Вместе в кино» $(2;\,1)$ — равновесие: ваш уход на каток превращает $2$ в $0$, его уход — $1$ в $0$. «Вместе на катке» $(1;\,2)$ — второе равновесие по той же проверке.
• А «вечер врозь» $(0;\,0)$ — нет: каждому в одиночку выгодно передумать и присоединиться к другому. Поэтому такие клетки неустойчивы — из них «стекает».
• Откуда это всё. В $1950$ году аспирант Джон Нэш опубликовал в PNAS заметку едва ли на страницу: в любой конечной игре устойчивая точка существует. Через $44$ года за неё дали Нобелевскую премию по экономике — потому что «клетка, из которой не уходят» оказалась универсальным предсказанием: от цен в ларьках до переговоров о разоружении.
• Равновесий бывает несколько — и тогда главный вопрос «в котором встретимся?» решают привычки, традиции и намёки. Это отдельное искусство координации — Модуль $4.4$.

Доминирующая стратегия

Вы не знаете, проверит препод проект строго или мягко. Но посмотрите на свои выплаты (баллы с учётом нервов и правок) — и пощёлкайте режимы мира:

• Определение. Стратегия строго доминирует, если даёт больше при любом ходе другого (или природы). Здесь «раньше» бьёт «в срок» и при строгой проверке ($4$ против $1$: время на правки), и при мягкой ($3$ против $2$: спокойные нервы).
• Правило. Есть доминирующая — играйте её и не тратьте силы на чтение мыслей. Доминируемые стратегии вычёркивайте — у себя и у соперника: игра на глазах упрощается.
• Честное предупреждение. Доминирующая стратегия — роскошь: в «кино или катке» её нет ни у кого, поэтому пришлось искать равновесия. А в следующем модуле она будет у обоих игроков — и заведёт обоих в худшую клетку. Это и есть знаменитая дилемма.

Три вопроса о любой игре

• Одновременная или последовательная? Ходим вслепую (камень-ножницы, закрытые ставки) — или видим ходы и отвечаем (шахматы, торг)? В последовательных рулит просчёт «с конца», в одновременных — равновесия.
• Разовая или повторяющаяся? Продавец у вокзала играет с вами один раз; продавец у дома — каждый день. Повторение включает память и репутацию — и переворачивает выгоды так сильно, что этому посвящён весь Модуль $4.3$.
• Нулевая или ненулевая сумма? В шахматах и борьбе за одно бюджетное место мой плюс — ровно ваш минус. Но в проекте, семье и торговле выигрывать можно вместе: в «кино или катке» клетки дают в сумме $3$, $3$, $0$, $0$ — сумма не постоянна, значит, есть что создавать и что терять сообща.
• Немного истории. Фон Нейман и Моргенштерн ($1944$) построили теорию для нулевых игр — войн и покера. Нэш ($1950$) открыл дверь в ненулевые. И в том же январе $1950$-го Флад и Дрешер в RAND впервые посадили за ненулевую игру живых людей — экономиста Алчиана и математика Уильямса, на сто раундов с дневниками. Люди кооперировались куда чаще, чем велела разовая логика, — этот спор теории с людьми вы видели на лендинге главы и разберёте в $4.2$ и $4.3$.
• Главный вывод для жизни: почти все важные ваши игры — ненулевые и повторяющиеся. В них можно выигрывать вместе, и в них помнят, как вы играли.

Связь с курсом

• Глава $6$: решения против природы — частный случай, где «второй игрок» не думает; деревья и правила оттуда остаются в силе.
• Глава $3$: ваш приор о ходе соперника — байесовская оценка; равновесие подсказывает, какие ходы вообще устойчивы.
• Модуль $4.2$: возьмём игру, где доминирующая стратегия есть у обоих — и честная арифметика заведёт обоих в худшую клетку. Дилемма заключённого.
• Модуль $4.4$: что делать, когда равновесий два, как в «кино или катке», — координация и фокальные точки.

Главное. Игра — это ситуация, где исход зависит от нескольких думающих участников. Её скелет: игроки, стратегии, выплаты (вся ценность исхода, не только деньги). Лучший ответ — максимум при данном ходе другого; равновесие Нэша — клетка взаимных лучших ответов, из которой никому не выгодно уходить в одиночку, и таких клеток может быть несколько. Есть доминирующая стратегия — играйте её без прогнозов. И помните карту: жизнь — по большей части ненулевая повторяющаяся игра.