2.4
Дисперсия и риск Модуль · Глава 2 Вероятность
К Главе 2
2.4
Модуль 2.4 · Дисперсия и риск

У среднего есть разброс

Две ставки могут иметь одинаковую ожидаемую стоимость и при этом ощущаться совершенно по-разному: одна спокойная, другая швыряет от джекпота к разорению. Среднее этого не видит. Чтобы измерить риск, нужна вторая величина — разброс исходов.

одно среднее А узкий Б широкий — риск выше
Центр один, но Б разлетается шире.

Среднее говорит, куда целится ставка. Разброс — насколько она может промахнуться.

Принцип риска
Раздел 1 · Среднее не всё

Один $E[X]$ — разные ставки

Ожидаемая стоимость сжимает ставку в одно число и теряет важное: насколько широко гуляют исходы.

Две ставки, одно среднее

Ставка А

+10 / −10 · 50 на 50

$E[X]=0$. Колебания мелкие: «потрепало и отпустило».

Ставка Б

+100 / −100 · 50 на 50

$E[X]=0$ — то же! Но качает в $10$ раз сильнее.

Среднее у обеих ноль, а ощущение и риск — несопоставимы. Значит, $E[X]$ нужно дополнить мерой того, как далеко исходы разлетаются от среднего.

Раздел 2 · Дисперсия

Мера разброса

Дисперсия измеряет, насколько в среднем исходы отклоняются от ожидаемого значения.

Дисперсия и стандартное отклонение $$\mathrm{Var}(X) = \sum_i p_i\,(x_i - E[X])^2, \qquad \sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}$$

Каждое отклонение от среднего возводим в квадрат (чтобы плюсы и минусы не гасились), взвешиваем по вероятности и складываем. Корень из дисперсии — стандартное отклонение $\sigma$: «типичное отклонение» в тех же единицах, что и исходы.

Считаем для ставки Б

Б: $+100$ и $-100$ при $E[X]=0$. Тогда $\mathrm{Var} = 0{,}5\cdot(100-0)^2 + 0{,}5\cdot(-100-0)^2 = 0{,}5\cdot 10\,000 + 0{,}5\cdot 10\,000 = 10\,000$, а $\sigma = \sqrt{10\,000} = 100$. У ставки А аналогично $\sigma = 10$. Средние равны, но $\sigma$ в десять раз больше — вот мера риска.

Раздел 3 · Рискованнее

Найдите риск

В каждой паре у ставок одинаковое среднее. Выберите ту, что рискованнее — у которой шире разброс.

Интерактив · 4 пары

Какая ставка рискованнее?

Среднее в каждой паре равно — значит, решает только разброс ($\sigma$).

Верно: 0 / 4

1А: $+10$ / $-10$ (50 на 50).   Б: $+100$ / $-100$ (50 на 50). Оба $E[X]=0$.

2А: гарантированно $+50$.   Б: $+100$ / $0$ (50 на 50). Оба $E[X]=50$.

3А: $+30$ / $-10$ (50 на 50).   Б: $+12$ / $+8$ (50 на 50). Оба $E[X]=10$.

4А: $+20$ / $0$ (50 на 50).   Б: $+110$ / $-90$ (50 на 50). Оба $E[X]=10$.

Раздел 4 · Риск = разброс

Чем шире — тем рискованнее

При равном среднем рискованнее та ставка, у которой больше разброс. Но «больше риска» — не всегда «хуже».

Как читать $\sigma$

  • Риск — это $\sigma$. Чем больше стандартное отклонение, тем дальше типичный исход от среднего — в обе стороны.
  • $E[X]$ и $\sigma$ вместе. Ставку описывают две цифры: куда целится (среднее) и как сильно гуляет (разброс).
  • Сколько риска брать — зависит от вас. Связано с Модулем $2.3$: разовая ставка с большим $\sigma$ и шансом разориться опаснее, чем та же в повторяемой серии.
Раздел 5 · Снизить

Как ужать разброс

Хорошая новость: разброс можно уменьшить, почти не трогая среднее.

Приёмы против риска

  • Диверсификация. Много независимых небольших ставок вместо одной крупной: среднее сохраняется, а разброс падает — «не клади все яйца в одну корзину».
  • Не ставить всё. Ограничивайте размер ставки так, чтобы ни один исход не был разорительным (защита от «хвоста»).
  • Сопоставлять с возможностями. Берите столько разброса, сколько способны пережить, не выходя из игры.

Именно поэтому портфель из многих активов спокойнее одной акции с тем же ожидаемым доходом: разброс гасится за счёт независимости.

Раздел 6 · Итог

Две цифры на ставку

Среднее и разброс вместе описывают ставку честнее, чем одно среднее.

Связь с курсом

  • Модуль $2.2$: $E[X]$ — куда целится ставка; этот модуль добавляет, как сильно она гуляет.
  • Модуль $2.3$: разовость и риск разорения — это про большой $\sigma$ в неповторяемом решении.
  • Глава $5$ «Данные»: разброс и стандартное отклонение описывают и наборы данных, не только ставки.
  • Глава $6$ «Решения»: выбор учитывает и среднее, и риск, а не одно из двух.

Главное. Два решения с одинаковым $E[X]$ могут различаться по риску. Дисперсия $\mathrm{Var}(X)=\sum p_i(x_i-E[X])^2$ и её корень $\sigma$ измеряют разброс исходов вокруг среднего. При равном среднем рискованнее ставка с большим $\sigma$; разброс снижают диверсификацией. Дальше — как считать число исходов (Модуль $2.5$).

Что забрать из модуля 2.4

$I$Одно среднее — не одно решение: при равном $E[X]$ ставки могут сильно отличаться по риску.
$II$Дисперсия $\mathrm{Var}(X)=\sum p_i(x_i-E[X])^2$ измеряет разброс исходов вокруг среднего.
$III$$\sigma=\sqrt{\mathrm{Var}}$ — «типичное отклонение» в тех же единицах; это и есть мера риска.
$IV$При равном среднем рискованнее ставка с большим $\sigma$.
$V$Разброс снижают диверсификацией и ограничением размера ставки — среднее почти не страдает.
Проверь себя0 / 5

Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.

Источники
  1. Markowitz H. (1952). Portfolio Selection. The Journal of Finance. (риск как дисперсия) поиск источника
  2. Blitzstein J., Hwang J. (2019). Introduction to Probability (глава Variance). CRC Press. поиск источника
  3. Bernstein P. L. (1996). Against the Gods: The Remarkable Story of Risk. Wiley. поиск источника

Образовательный материал. Дисперсия и σ в примерах и интерактиве проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.

↑ Наверх