Чтобы найти вероятность, часто нужно знать сколько всего исходов и сколько из них благоприятных. Перечислять руками — безнадёжно: у лотереи «$6$ из $45$» вариантов больше восьми миллионов. Комбинаторика считает их формулой, не выписывая ни одного.
Вероятность начинается со счёта: сколько всего исходов и сколько среди них благоприятных.
Принцип счётаКлассическая вероятность — это благоприятные исходы, делённые на все. Чтобы её найти, оба числа нужно посчитать.
Главный инструмент: если выбор делается шагами, число вариантов на шагах перемножается.
Если шаг $1$ можно сделать $n_1$ способами, шаг $2$ — $n_2$ способами и так далее, то всё вместе — их произведение. Для $4$-значного ПИНа: $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10\,000$.
Дерево на иллюстрации показывает то же: $2$ ветви на первом шаге, по $3$ на втором — $2 \cdot 3 = 6$ путей. Перемножение, а не сложение, — потому что каждый вариант первого шага сочетается с каждым вариантом второго.
Четыре задачи на счёт. Решайте правилом умножения, перестановками или сочетаниями — смотря важен ли порядок.
Сначала спросите себя: важен ли порядок и делается ли выбор шагами.
1Сколько различных ПИН-кодов из $4$ цифр (каждая $0$–$9$)?
2Сколькими способами выбрать $2$ предмета из $5$, если порядок не важен?
3Сколькими способами $5$ человек могут встать в очередь (порядок важен)?
4Лотерея: угадать $6$ чисел из $45$ (порядок не важен). Сколько комбинаций?
Главная развилка комбинаторики: считаем мы упорядоченные наборы или нет.
«АБ» и «БА» — разные. Перестановки всех $n$: $n!$. Выбрать и упорядочить $k$ из $n$: $A_n^k$.
«АБ» и «БА» — одно и то же. Выбрать $k$ из $n$ без порядка: $C_n^k$.
Здесь $n! = 1\cdot 2 \cdots n$ (факториал). Сочетаний меньше, чем размещений, ровно в $k!$ раз — потому что порядок внутри выбранных $k$ мы больше не различаем.
Например, очередь из $5$ человек — это перестановки: $5! = 120$. А выбрать $2$ из $5$ без порядка — сочетания: $C_5^2 = \tfrac{5!}{2!\,3!} = 10$.
Посчитав число исходов, мы получаем вероятность напрямую.
В лотерее «$6$ из $45$» все комбинации равновозможны, а благоприятная — одна (ваш билет). Число всех комбинаций: $C_{45}^6 = 8\,145\,060$. Значит, вероятность угадать — $P = \tfrac{1}{8\,145\,060}$, примерно $1$ к $8$ миллионам. Это та самая цифра из Главы $1$ (модуль про доступность): джекпот чувствуется близким, а число говорит обратное.
Так комбинаторика смыкается с модулем $2.1$: классическая вероятность — это счёт благоприятных, делённый на счёт всех.
Комбинаторика — это арифметика вариантов: она даёт числа, которые вероятность превращает в шансы.
Главное. Правило умножения перемножает варианты шагов: $N = n_1 \cdot n_2 \cdots n_k$. Если порядок важен — это размещения ($n!$, $A_n^k$); если нет — сочетания $C_n^k = \tfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$. Посчитав все и благоприятные исходы, делим — получаем вероятность. Дальше — синтез главы: считать ставку целиком (Модуль $2.6$).
Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.
Образовательный материал. Все числа ($10^4$, $5!$, $C_5^2$, $C_{45}^6$) проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.