Модуль 2.1 · Вероятность с нуля

Шанс — это число

«Наверное», «вряд ли», «скорее всего» — слова, которыми мы прячем неуверенность. Вероятность переводит их в число от $0$ до $1$: $0$ — невозможно, $1$ — точно, $\tfrac12$ — поровну. С этого начинается вся глава: чтобы сравнивать ставки числом, сперва нужно измерить шанс.

Любая вероятность — точка на отрезке от 0 до 1.

Вероятность превращает «наверное» в число от 0 до 1 — и спор о шансах становится расчётом.

Принцип вероятности

Раздел 1 · Что это

Мера правдоподобия

Вероятность события — это число от $0$ до $1$, которое говорит, насколько событие правдоподобно.

Края и середина шкалы

$0$ — невозможно. Событие не произойдёт никогда (например, «$7$» на обычном кубике).
$1$ — достоверно. Событие точно произойдёт (выпадет «что-то от $1$ до $6$»).
Между ними — степень. $\tfrac12$ — поровну «за» и «против»; ближе к $1$ — вероятнее, ближе к $0$ — реже.

Часто вероятность записывают в процентах: $\tfrac12 = 50\%$, $\tfrac15 = 20\%$. Это та же шкала, просто умноженная на $100$.

Раздел 2 · Три способа

Откуда берётся число

Вероятность можно получить тремя способами — и важно понимать, каким именно вы пользуетесь.

Три подхода

Классический

Когда исходы равновозможны: делим благоприятные на все. Кубик, монета, карты.

Частотный

Доля события в длинной серии наблюдений. Так оценивают надёжность, погоду, брак.

Субъективный

Степень личной уверенности при нехватке данных. «Шанс, что проект сдадут в срок».

Классическая формула $$P(A) = \frac{m}{n}$$

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — число всех равновозможных. Для «$6$» на кубике: $m=1$, $n=6$, значит $P=\tfrac16$.

Раздел 3 · Интерактив

Посчитайте сами

Четыре задачи на классическую вероятность. Выберите ответ — разбор появится сразу.

Интерактив · 4 задачи

Какова вероятность?

Считайте по формуле $P=\tfrac{m}{n}$ — благоприятные на все равновозможные.

Решено верно: 0 / 4

1Честный кубик. Какова вероятность выпадения «$6$»?

2Тот же кубик. Какова вероятность, что выпадет не «$6$»?

3Кубик. Какова вероятность выпадения чётного числа ($2$, $4$ или $6$)?

4Монету бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?

Раздел 4 · Два правила

Что всегда верно

Две простые истины удерживают вероятность от ошибок и дают полезный приём.

Диапазон и сумма

Диапазон. Любая вероятность лежит от $0$ до $1$: значений вроде «$1{,}3$» или «$-0{,}2$» не бывает.
Полный набор. Вероятности всех возможных исходов в сумме дают $1$: $P_1 + P_2 + \dots + P_n = 1$.

Правило дополнения $$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

Вероятность, что событие не случится, — это $1$ минус вероятность, что случится. Если $P=0{,}3$, то «не случится» $= 0{,}7$. Часто «через дополнение» считать проще, чем напрямую.

Раздел 5 · Зачем

Зачем это в жизни

Вероятность — не про кубики, а про любые решения с неизвестным исходом.

Где работает

Оценка риска. «Насколько вероятна поломка / задержка / отказ» — это вопрос о вероятности.
Защита от искажений. «Базовая частота» из Главы $1$ — это и есть вероятность; число бьёт впечатление.
Сравнение вариантов. Чтобы взвесить ставку, нужны и шансы, и ценность исходов — следующий шаг главы.

Пока мы научились измерять шанс. Но «вероятно выиграть» — ещё не «выгодно»: важно, сколько именно можно выиграть или потерять. Это работа Модуля $2.2$.

Раздел 6 · Итог

Шанс измерен

Вероятность — первый кирпич главы: общий язык для шансов, на котором строится всё остальное.

Связь с курсом

Модуль $2.2$: ожидаемая ценность — шансы, умноженные на исходы, сводят ставку к одному числу.
Глава $1$: «базовая частота» против доступности — это вероятность вместо впечатления.
Глава $3$ «Байес»: как менять вероятность, получая новые данные.
Модуль $2.5$: комбинаторика — как считать $n$ и $m$, когда исходов много.

Главное. Вероятность — число от $0$ до $1$, мера правдоподобия. Её получают классически (благоприятные ÷ все), частотно (доля в серии) или субъективно (уверенность). Сумма всех исходов равна $1$, а вероятность «не $A$» равна $1 - P(A)$. Дальше — превращаем шанс в ценность решения.

Что забрать из модуля 2.1

$I$Вероятность — число от $0$ до $1$: $0$ невозможно, $1$ точно, $\tfrac12$ поровну.

$II$Три способа оценить: классический (благоприятные ÷ все), частотный (доля в серии), субъективный (уверенность).

$III$Классическая формула: $P=\tfrac{m}{n}$ для равновозможных исходов.

$IV$Дополнение: $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$; сумма всех исходов равна $1$.

$V$Зачем: измеренный шанс — основа оценки риска и сравнения ставок (дальше — ценность).

Проверь себя0 / 5

Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.

Источники

Колмогоров А. Н. (1933). Основные понятия теории вероятностей. (аксиоматика вероятности) поиск источника
Blitzstein J., Hwang J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press. поиск источника
Tijms H. (2012). Understanding Probability (3rd ed.). Cambridge University Press. поиск источника

Образовательный материал. Примеры (кубик, монета, карты) — классические равновозможные исходы; значения проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.