2.2
Ожидаемая стоимость Модуль · Глава 2 Вероятность
К Главе 2
2.2
Модуль 2.2 · Ожидаемая стоимость

Ставку можно взвесить

У каждой ставки есть исходы и их шансы. Ожидаемая стоимость $E[X]$ сводит их в одно число — средний исход, если повторить ставку много раз. Так два предложения, которые «на глаз» не сравнить, становятся сравнимыми: у какого среднее выше.

0 −100 проигрыш +200 выигрыш E[X] = +50
При шансах $50/50$ среднее лежит между исходами.

Хорошая ставка — не та, что выиграла, а та, у которой средний исход в плюсе.

Принцип ожидаемой ценности
Раздел 1 · Что это

Средний исход

Ожидаемая стоимость — это средний результат ставки, если бы вы повторили её очень много раз.

Не предсказание, а среднее

  • Это не «что будет». $E[X]$ почти никогда не равна реальному исходу одной попытки — это среднее по многим.
  • Взвешивание по шансам. Редкий крупный выигрыш «весит» мало, частый мелкий — много; $E[X]$ учитывает и размер, и вероятность.
  • Один язык для разных ставок. Любую ставку — лотерею, страховку, сделку — можно свести к одному числу и сравнить.
Раздел 2 · Как считать

Шанс умножить на исход

Формула простая: каждый исход умножаем на его вероятность и складываем.

Ожидаемая стоимость $$E[X] = \sum_i x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots$$

Для ставки с двумя исходами (выигрыш $W$ с шансом $p$, проигрыш $L$ с шансом $1-p$): $E[X] = p\cdot W - (1-p)\cdot L$.

Пример

Ставка: с шансом $0{,}5$ выиграть $200$, с шансом $0{,}5$ потерять $100$. Тогда $E[X] = 0{,}5 \cdot 200 - 0{,}5 \cdot 100 = 100 - 50 = +50$. В среднем за попытку ставка приносит $+50$ — она выгодна в долгой серии, хотя в любой отдельной попытке вы либо $+200$, либо $-100$.

Раздел 3 · Калькулятор

Посчитайте выгодность

Задайте выигрыш, проигрыш и шанс выигрыша — калькулятор посчитает $E[X]$ и скажет, выгодна ли ставка.

Интерактив · калькулятор E[X]

Выгодна ли ставка?

Задайте значения и нажмите «Посчитать».
Важно: $E[X]$ — это среднее в долгой серии. Для разовой ставки или при риске потерять всё одного $E[X]$ мало — нужен ещё разброс (Модуль $2.4$).
Раздел 4 · Правило

Как выбирать

Когда ставку можно повторять, ожидаемая стоимость даёт прямое правило выбора.

Правило ожидаемой стоимости

  • Сравнивай по $E[X]$. Из нескольких вариантов при прочих равных выбирай тот, у кого ожидаемая стоимость выше.
  • Знак говорит сам. $E[X] > 0$ — в долгую выгодно; $E[X] < 0$ — в долгую в минус; $E[X] = 0$ — честная игра.
  • Это и есть «разумная ставка». Принцип главы: хорошее решение — не то, что повезло, а то, у которого $E[X]$ был в плюсе.
Раздел 5 · Подвохи

Когда $E[X]$ обманывает

Ожидаемая стоимость — мощный, но не единственный критерий. Три случая, где на неё нельзя смотреть в одиночку.

Где среднего мало

  • Разовость. «В среднем за много раз» не утешит, если попытка одна: вы получите конкретный исход, а не среднее.
  • Риск разорения. Ставка с плюсовым $E[X]$, но шансом потерять всё, может разорить раньше, чем «долгая серия» окупится. До среднего надо дожить.
  • Ценность нелинейна. Потерять последние $100\,000$ больнее, чем приятно выиграть столько же (привет Главе $1$): одинаковый $E[X]$ — не одинаковая польза.

Поэтому рядом с $E[X]$ всегда держат разброс исходов — это Модуль $2.4$.

Раздел 6 · Итог

Ставка сведена к числу

Ожидаемая стоимость — главный инструмент главы: она превращает «шансы и исходы» в одно сравнимое число.

Связь с курсом

  • Модуль $2.1$: вероятности — это те самые $p_i$, которые входят в $E[X]$.
  • Модуль $2.4$: дисперсия и риск — почему рядом с $E[X]$ нужен разброс.
  • Модуль $2.5$: комбинаторика — как находить вероятности, когда исходов много.
  • Глава $6$ «Решения»: $E[X]$ как ядро дерева решений и сравнения вариантов.

Главное. $E[X] = \sum x_i p_i$ — средний исход ставки при многих повторениях. Положительная $E[X]$ выгодна в долгую, нулевая — честная игра, отрицательная — в минус. Сравнивай варианты по $E[X]$, но помни про разовость и риск разорения. Дальше — классифицируем сами решения (Модуль $2.3$).

Что забрать из модуля 2.2

$I$$E[X]$ — средний исход ставки при многих повторениях, а не предсказание одной попытки.
$II$Формула: $E[X]=\sum x_i p_i$; для двух исходов $E[X]=p\,W-(1-p)\,L$.
$III$Знак решает: $E[X]>0$ — выгодно в долгую, $=0$ — честная игра, $<0$ — в минус.
$IV$Правило выбора: при прочих равных бери вариант с большей $E[X]$.
$V$Не панацея: разовость и риск разорения требуют смотреть и на разброс (Модуль $2.4$).
Проверь себя0 / 5

Пять вопросов по ключевым идеям модуля. Выберите ответ — сразу увидите верный вариант и пояснение. Прогресс сохраняется.

Источники
  1. Bernoulli D. (1738 / 1954). Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk. Econometrica (англ. перевод). поиск источника
  2. Blitzstein J., Hwang J. (2019). Introduction to Probability (глава Expectation). CRC Press. поиск источника
  3. Hacking I. (2001). An Introduction to Probability and Inductive Logic. Cambridge University Press. поиск источника

Образовательный материал. Значения в примерах и калькуляторе проверены расчётом. Ссылки ведут на поиск источника.

↑ Наверх