Два инструмента держат всю стереометрию углов и расстояний: апофема — высота боковой грани пирамиды, и ортогональная проекция — «тень» по перпендикуляру. А связывает их теорема о трёх перпендикулярах — самый частый приём в задачах на пространство.
Большинство стереометрических задач решается двумя приёмами. Апофема даёт «рабочий» прямоугольный треугольник в пирамиде. Ортогональная проекция (тень по перпендикуляру) связывает наклонные отрезки с их «плоскими» образами. А теорема о трёх перпендикулярах позволяет уверенно строить прямые углы в пространстве — без неё стереометрия буксует.
$m^2 = h^2 + r^2$
Через апофему считают площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}=\tfrac12 P\cdot m$ и двугранный угол при основании. Это и есть тот самый «рабочий» прямоугольный треугольник, к которому мы сводим объёмную задачу.
Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая в плоскости перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной. Это даёт надёжный способ строить и распознавать прямые углы в пространстве — например, при построении линейного угла двугранного или апофемы.
Типичный ход решения: спроецировать вершину на плоскость (получить высоту и проекцию), по ТТП построить нужный перпендикуляр к ребру (это даёт линейный угол двугранного или апофему), выделить прямоугольный треугольник с апофемой и посчитать всё планиметрией. Так апофема, проекция и ТТП работают вместе.
Эти приёмы — сердце школьной стереометрии и вступительных задач (модуль M9). Освоив их, вы сведёте к плоскому почти любую пространственную задачу.