Двугранный угол — это угол между двумя плоскостями, сходящимися по общему ребру, как страницы раскрытой книги. Измеряют его не «на глаз», а через линейный угол: перпендикуляры к ребру в каждой грани. Подвигайте ползунок и раскройте книгу.
Представьте раскрытую книгу: две страницы сходятся по корешку. Корешок — это ребро, страницы — грани, а угол между ними — двугранный. Так устроены скат крыши и стена, грань пирамиды и её основание, две стенки коробки. Чтобы говорить о таком угле точно, нужна правильная мера — линейный угол.
Жёлтые пунктирные отрезки — перпендикуляры к ребру (корешку) в каждой странице. Угол θ между ними и есть линейный угол двугранного. Перпендикулярность к ребру — обязательна: косой угол меру исказит.
1. Найти ребро — общую прямую двух плоскостей. 2. Выбрать точку на ребре и из неё в каждой грани провести перпендикуляр к ребру. 3. Измерить угол между этими перпендикулярами — это и есть двугранный угол.
Часто перпендикуляры строят с помощью теоремы о трёх перпендикулярах (см. углубление «Апофема и проекция»): она гарантирует, что наклонная перпендикулярна ребру, если ему перпендикулярна её проекция.
Оба отрезка линейного угла обязаны быть перпендикулярны ребру и лежать в своих гранях. Тогда угол между ними не зависит от выбора точки на ребре и равен двугранному.
Двугранный угол между соседними гранями куба — ровно 90°. Поэтому куб так удобен как «эталон» прямого угла в пространстве.
Угол наклона боковой грани к основанию — двугранный угол при основании. Его линейный угол строят через апофему.
Уклон кровли — двугранный угол между скатом и горизонтом. От него зависит сход снега и воды.
В правильном тетраэдре двугранный угол ≈ 70,5° — красивый пример, который считают через апофемы граней.