Расстояние в геометрии — всегда кратчайший путь, а кратчайший путь — это перпендикуляр. От точки до плоскости — длина перпендикуляра к плоскости. Между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра. Разберём, как их находить.
Расстояние между геометрическими объектами — длина наименьшего отрезка, их соединяющего. В пространстве, как и на плоскости, такой отрезок всегда перпендикулярен обоим объектам. Поэтому искать расстояние — значит искать правильный перпендикуляр.
\$d(P,\pi)=|PH|,\quad PH\perp\pi\$
Удобный приём, когда перпендикуляр трудно построить, — метод объёмов: если точка — вершина пирамиды с основанием в плоскости, то из \$V=\tfrac13 S\cdot h\$ сразу получаем высоту \$h=\tfrac{3V}{S}\$, то есть искомое расстояние.
На практике общий перпендикуляр строить трудно, поэтому чаще считают иначе: провести через одну прямую плоскость, параллельную другой, и найти расстояние от второй прямой до этой плоскости — а это уже знакомая задача «точка–плоскость».
Прямой перпендикуляр — построить его явно и найти длину (хорошо, когда фигура симметрична). Метод объёмов — выразить расстояние через объём и площадь: \$h=\tfrac{3V}{S}\$; особенно удобно для расстояния от точки до плоскости. Параллельная плоскость — свести расстояние между прямыми (или прямой и плоскостью) к расстоянию «точка–плоскость». Координаты — задать фигуру координатами и применить формулы (мост к аналитической геометрии Декарта из M1).
Все методы опираются на один и тот же принцип: расстояние — это перпендикуляр, а стереометрия сводится к плоскому треугольнику.