Часто в чертеже спрятана половина знакомой фигуры — параллелограмма, прямоугольника, равностороннего треугольника. Достроив её до целого, мы получаем в руки все свойства этой фигуры. Классика приёма — удвоение медианы.
У параллелограмма диагонали делятся пополам; у прямоугольника равны диагонали; у равностороннего треугольника всё симметрично. Эти свойства — готовый инструмент. Если в задаче видна «половинка» такой фигуры, достроим её до целой — и свойства заработают на нас.
Теперь работает свойство параллелограмма: например, сторона BD равна и параллельна AC. Так доказывают неравенство для медианы, формулу её длины и десятки задач — одним движением «достроить».
Удвоить медиану или отложить равный и параллельный отрезок. Получаем равные стороны и делящиеся пополам диагонали.
Опустить перпендикуляры и достроить прямоугольник — удобно для задач с проекциями, высотами и площадями.
В конфигурациях с углами 60° достройка до равностороннего треугольника даёт сразу три равные стороны и оси симметрии.
Достройка до квадрата приносит прямые углы, равные стороны и диагонали под 45° — мощный набор свойств.
Сигналы к достройке просты. Есть медиана — почти всегда стоит её удвоить. Видна половина симметричной фигуры (треугольник, который «просится» в параллелограмм; угол, достраиваемый до правильного) — дополни до целого. Изолированные отрезки, которые хочется связать, — соедини их в знакомый контур.
После достройки нужно обосновать, что получилась именно та фигура (почему параллелограмм, почему квадрат), — и дальше пользоваться её свойствами как готовыми. Это прямое продолжение идеи вспомогательного построения из модуля M2.