Движение — отражение, поворот, перенос — сохраняет длины и углы, но переносит трудный элемент туда, где он становится простым. Отразить, чтобы выпрямить путь; повернуть, чтобы соединить далёкое. Это вспомогательное построение в движении.
Отражение, поворот и параллельный перенос — это движения: они не меняют ни длин, ни углов. Значит, отразив или повернув часть чертежа, мы получаем фигуру, равную исходной, но стоящую удобнее. Спрятанное равенство выходит наружу, ломаная превращается в прямую, разрозненные отрезки сходятся вместе.
Здесь вспомогательное построение — это сама точка B′. Отражение перенесло задачу в мир, где «кратчайшее» очевидно: прямая. Тот же приём решает задачи о биллиарде, отражении света, оптимальном маршруте.
В задачах с равносторонним треугольником поворот на 60° вокруг вершины переводит одну сторону в другую. Так доказывают, например, свойство точки Ферма и многие равенства отрезков.
В конфигурациях с квадратом поворот на 90° вокруг центра или вершины совмещает стороны и диагонали — спрятанные прямые углы и равенства становятся явными.
Признак, что пора поворачивать: в условии есть равные отрезки, выходящие из одной точки, и «жёсткий» угол (60°, 90°, 120°). Поворот соберёт их вместе.
Отражение — когда речь о кратчайшем пути, о точке на прямой, о симметричной конфигурации, об угле падения и отражения. Поворот — когда есть равные отрезки из одной точки и характерный угол. Перенос — когда нужно сблизить два удалённых равных и параллельных отрезка.
Во всех случаях движение сохраняет длины и углы — поэтому новая фигура «честна»: то, что верно в ней, верно и в исходной. Остаётся обосновать, какое именно движение применили, — и решение готово.