Иногда недостающая фигура — это окружность. Проведённая через ключевые точки, она приносит с собой мощный инструмент: вписанные углы. Равные углы, прямые углы на диаметре, четыре точки на одной окружности — всё это превращает запутанную задачу в прозрачную.
В условии — несколько точек, отрезков, углов. Окружности нет. Но если заметить, что какие-то точки «просятся» на одну окружность, и провести её, в игру вступает целый арсенал: вписанные углы, свойства хорд и касательных. Опорная окружность — один из сильнейших приёмов планиметрии.
Именно поэтому окружность так полезна: она «выравнивает» углы. Увидев в задаче два равных угла, опирающихся на один отрезок, можно заподозрить общую окружность — и наоборот.
Если из двух точек отрезок AB виден под равными углами (и точки с одной стороны), все четыре лежат на одной окружности.
Четырёхугольник вписан в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180°.
Прямой угол всегда опирается на диаметр. Видишь прямой угол — проведи окружность на гипотенузе как на диаметре.
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны — ещё один признак и инструмент опорной окружности.
Схема почти всегда одна. Заметить зацепку: прямой угол (→ окружность на диаметре), две точки, видящие отрезок под равными углами (→ концикличность), вписанный четырёхугольник. Провести окружность через нужные точки. Снять урожай: равные углы, подобные треугольники, равенства отрезков — и задача распадается.
Тренируется это, как всё в геометрии, — на задачах. Чем чаще решаешь, тем быстрее глаз выхватывает «окружностные» конфигурации (Прасолов, Шарыгин — «Задачи по планиметрии»).