Иногда задачу проще не строить, а вычислить. Введём систему координат — и точки станут парами чисел, расстояния и углы — формулами, а геометрическое условие — уравнением. Метод координат, идущий от Декарта, превращает геометрию в алгебру. Перетащите точку и посмотрите, как расстояние выражается формулой.
Метод координат, который придумал Рене Декарт (мы говорили о нём в модуле M1), переводит геометрию на язык чисел. Стоит ввести оси — и каждая точка получает координаты, расстояние между точками выражается формулой, прямые и окружности — уравнениями, а геометрическое условие («точка равноудалена от двух других», «лежит на окружности») превращается в алгебраическое. Там, где построение запутанно, вычисление часто оказывается прямым и надёжным путём — особенно в стереометрии.
Горизонтальный катет — это координата $x$, вертикальный — $y$, а наклонная — расстояние $OP$. По теореме Пифагора $OP = \sqrt{x^2+y^2}$. Так геометрическая величина (длина) превращается в арифметику над координатами.
Метод координат опирается на несколько базовых формул. Расстояние между точками $A(x_1,y_1)$ и $B(x_2,y_2)$:
$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}.$
Середина отрезка — это среднее координат: $M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$. Окружность радиуса $R$ с центром в $(a,b)$ задаётся уравнением $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. В пространстве всё то же, только добавляется третья координата $z$. Этих формул достаточно, чтобы перевести большинство геометрических условий на язык алгебры.
Расстояние $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$, середина — среднее координат, окружность $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. В 3D добавляется $z$.
Задача. В кубе с ребром $1$ найти расстояние между центром грани и противоположной вершиной.
Решение. Поместим куб в координаты: вершины $(0,0,0)$ … $(1,1,1)$. Возьмём центр нижней грани $C = \left(\tfrac12,\tfrac12,0\right)$ и противоположную вершину $V = (1,1,1)$ — впрочем, удобнее верхнюю дальнюю $(0,0,1)$ относительно центра; возьмём $V=(1,1,1)$. Тогда по формуле расстояния
$CV = \sqrt{\left(1-\tfrac12\right)^2 + \left(1-\tfrac12\right)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{\tfrac14+\tfrac14+1} = \sqrt{\tfrac32} = \dfrac{\sqrt6}{2}.$
Никаких вспомогательных построений и засечек — три координаты и одна формула. Именно поэтому в сложных стереометрических задачах координаты часто оказываются короче и надёжнее «чистой» геометрии.