Вектор несёт сразу направление и длину, а действия над векторами заменяют целые построения. Сумма — это диагональ параллелограмма, скалярное произведение мгновенно даёт угол и проверяет перпендикулярность. Особенно мощен векторный метод в пространстве. Тащите два вектора и смотрите их сумму и угол.
Вектор — это направленный отрезок: у него есть длина и направление. Главная сила векторов в том, что геометрические утверждения превращаются в короткие алгебраические. «Три точки лежат на одной прямой» — значит, один вектор кратен другому. «Прямые перпендикулярны» — значит, их скалярное произведение равно нулю. «Найти точку, делящую отрезок в данном отношении» — одна формула. Там, где синтетическое построение громоздко, вектор решает задачу в пару строк, особенно в стереометрии.
Когда угол между векторами становится близок к 90°, скалярное произведение обращается в ноль — это и есть векторный признак перпендикулярности. А если векторы сонаправлены, угол стремится к 0°: они коллинеарны.
Сумма векторов — диагональ параллелограмма (или «цепочка» по правилу треугольника). Так складывают перемещения и силы.
$\vec a\cdot\vec b = |\vec a||\vec b|\cos\varphi$ даёт угол между векторами. Равно нулю — векторы перпендикулярны.
$\vec b = k\vec a$ означает, что векторы коллинеарны. Так проверяют, лежат ли точки на одной прямой.
Через эти действия выражаются длины ($|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}$), углы, площади, деление отрезка в отношении. В координатах каждое действие — простая арифметика над числами, поэтому векторный метод так удобно сочетается с методом координат.
Векторами особенно удобно решать задачи, где важны отношения и направления, а не конкретные длины. Доказать, что точки делят отрезки в равных отношениях, что медианы пересекаются в одной точке, что прямые перпендикулярны, найти угол между скрещивающимися прямыми в кубе — всё это решается векторами почти без чертежа. В стереометрии, где наглядное построение особенно трудно, вектор и координаты часто оказываются самым коротким путём. Это прямое продолжение идеи модуля M9: наглядность находит идею, а вектор доводит её до точного ответа.
Коллинеарность — $\vec b=k\vec a$; перпендикулярность — $\vec a\cdot\vec b=0$; угол — через $\cos\varphi=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$. В стереометрии — кратчайший путь к ответу.