Самые строгие задачи — те, где ответ зависит от параметра. Решить такую — значит найти граничные значения и разобрать все случаи. Прямая и окружность: при разном расстоянии получается секущая, касательная или вовсе нет пересечения. Двигайте прямую и наблюдайте, как меняется число решений.
В задаче с исследованием в условии есть величина, которая может меняться, — параметр. От него зависит и ответ: при одних значениях решение есть, при других нет, а число решений может меняться. Решить такую задачу — значит не выдать одно число, а разобрать все случаи: найти граничные значения параметра и описать, что происходит в каждом промежутке. Это высшая форма геометрической строгости и любимый жанр сильных экзаменов и олимпиад.
Граничное значение здесь — $d = R$: ровно в этот момент две точки пересечения сливаются в одну (касание), а при $d > R$ их не остаётся. Найти такую границу и описать каждый случай — и есть «исследование».
Прямая пересекает окружность в двух точках. Чем ближе прямая к центру, тем дальше друг от друга точки.
Граничный случай: ровно одна общая точка. Прямая касается окружности; в точке касания она перпендикулярна радиусу.
Прямая проходит мимо: общих точек нет. Окружность и прямая не пересекаются.
Полный ответ задачи звучит так: при $d
Схема почти всегда одна. Первое: выделить параметр и величину, число которой исследуем (точки, решения, конфигурации). Второе: найти граничные значения параметра — те, при которых картина качественно меняется (здесь это $d=R$, момент касания). Третье: разобрать каждый промежуток между границами и описать, что происходит. Граница часто отвечает геометрическому «особому положению» — касанию, совпадению, вырождению фигуры. Найдя её, остальное доводят аккуратным перебором случаев.
Параметр → граничные значения (особые положения) → разбор каждого промежутка. Для прямой и окружности граница — $d=R$ (касание).