Один из самых мощных приёмов планиметрии: вписанный угол, опирающийся на дугу, не зависит от положения вершины — он постоянен и равен половине центрального. Двигайте точку по дуге и убедитесь сами: угол не меняется.
Возьмём на окружности хорду AB и любую точку M на большей дуге. Угол ∠AMB, под которым из M видна хорда, удивительным образом не зависит от того, где именно на дуге стоит M. Куда бы M ни двигалась, угол остаётся одним и тем же. Это и есть теорема о вписанном угле — простая, но открывающая множество задач.
Как бы вы ни двигали M по дуге, угол остаётся равным 60° — половине центрального угла ∠AOB (он равен 120°). Это не совпадение, а точная теорема.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу: $\angle AMB = \tfrac12\,\angle AOB$. Отсюда сразу два знаменитых следствия. Первое: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны (вершина может быть где угодно на дуге). Второе: угол, опирающийся на диаметр, прямой — ведь центральный угол развёрнут (180°), а половина от него 90°.
Равные углы на общей дуге; прямой угол на диаметре; «четыре точки на окружности», если из двух из них отрезок виден под равными углами.
Теорема о вписанном угле позволяет «увидеть» окружность там, где её на первый взгляд нет. Если в задаче две точки видят отрезок под равными углами — значит, все четыре лежат на одной окружности, и можно пользоваться её свойствами. Это типичный пример вспомогательного построения из модуля M9: проведя нужную окружность, мы превращаем запутанную задачу в стандартную. Именно такие ходы и ценятся на олимпиадах и вступительных.
Если ∠AMB = ∠ANB, точки A, B, M, N лежат на одной окружности. Скрытая окружность — ключ к решению.
Прямой угол, опирающийся на отрезок, означает, что вершина лежит на окружности с этим отрезком-диаметром.