У любого выпуклого многогранника вершины, рёбра и грани связаны изумительно простым законом: В − Р + Г = 2. Он не зависит ни от формы, ни от размера. Повертите куб, пересчитайте — и проверьте сами.
Леонард Эйлер заметил поразительное: как ни строй выпуклый многогранник, число его вершин (В) минус число рёбер (Р) плюс число граней (Г) всегда даёт ровно 2. Куб, пирамида, октаэдр, тело из тысячи граней — у всех $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$. Эта величина настолько устойчива, что от неё родилась целая наука — топология.
Та же формула выполняется для любого выпуклого тела:
В=4, Р=6, Г=4
4 − 6 + 4 = 2
В=6, Р=12, Г=8
6 − 12 + 8 = 2
В=20, Р=30, Г=12
20 − 30 + 12 = 2
Уберём одну грань и «растянем» оставшуюся поверхность на плоскость — получим плоский граф (сетку) с теми же вершинами и рёбрами, но граней на одну меньше. Для плоского связного графа равенство $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=1$ доказывается просто: добавляя по одному ребру, мы либо создаём новую грань (Р и Г растут вместе), либо соединяем новую вершину (В и Р растут вместе) — разность $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}$ не меняется.
Вернув убранную грань, получаем для многогранника $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$. Наглядно и строго — в духе Шарыгина.
Формула — свойство поверхности, а не конкретной формы. Любое тело, поверхность которого «как у сферы», даёт $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$.
Величину $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}$ называют эйлеровой характеристикой $\chi$. Для всех тел, гладко деформируемых в сферу, $\chi=2$. А вот для тела с «дыркой» — как у бублика (тора) — получится $\chi=0$. Так одна школьная формула различает сферу и бублик, не измеряя ни одной длины.
Это и есть рождение топологии — геометрии, которой важна не форма и размер, а то, как устроена поверхность «в целом». Тема перекликается с обзором из модуля M1.