Многогранник — тело из плоских граней: призма, пирамида, правильные Платоновы тела. У всех выпуклых многогранников есть общий закон — формула Эйлера. А разрезав тело по рёбрам, мы получим его развёртку. Здесь можно повертеть тело и сложить коробку.
Многогранник — это объёмное тело, ограниченное плоскими многоугольниками — гранями. Грани сходятся по рёбрам, рёбра — в вершинах. Простейшие семейства — призмы (два равных основания и боковые прямоугольники) и пирамиды (основание и сходящиеся в вершине боковые грани).
Среди всех многогранников особое место занимают правильные — у которых все грани одинаковые правильные многоугольники, и все вершины устроены одинаково. Их, как мы увидим, ровно пять.
Покрутив тело, легче увидеть его «изнутри»: какие вершины напротив каких, сколько рёбер сходится в вершине (у октаэдра — четыре). Это та самая насмотренность из модуля M4, теперь применённая к многогранникам.
$\text{В} - \text{Р} + \text{Г} = 2$
Куб: 8 − 12 + 6 = 2. Тетраэдр: 4 − 6 + 4 = 2. Октаэдр: 6 − 12 + 8 = 2. Удивительно простое и универсальное соотношение — целое углубление посвящено тому, почему оно верно.
Углубление: формула Эйлерачитать →Почему именно пять — и как они связаны двойственностью (куб ↔ октаэдр, додекаэдр ↔ икосаэдр, тетраэдр сам себе двойствен) — разбирается в отдельном углублении, где все пять тел можно повертеть.
Углубление: пять правильных тел (вертятся все)читать →Развёртки — это и упаковка, и макеты, и выкройки. Сколько у куба различных развёрток, как их строить и проверять — в отдельном углублении.
Углубление: развёртки многогранниковчитать →Следующий модуль — сечения многогранников методом следов.
Любая 3D-модель — это сетка из вершин, рёбер и граней (полигональный меш). Многогранники — её основа.
Развёртки коробок и моделей; раскрой материала. Прямое применение выкроек.
Многогранные формы, купола, паркеты и мозаики опираются на геометрию тел.
Кристаллы, молекулы, вирусы-икосаэдры — правильные тела встречаются и в природе.