Рассечём многогранник плоскостью — в разрезе появится многоугольник, сечение. Построить его «на глаз» нельзя: нужен точный приём. Главный из них — метод следов: находим линию, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания, и по ней достраиваем всё сечение. Это вершина школьной стереометрии.
Сечение многогранника — это многоугольник, который получается, если рассечь тело плоскостью. Каждая сторона сечения лежит в какой-то грани тела (это пересечение секущей плоскости с гранью), а вершины сечения лежат на рёбрах. Форма сечения зависит от наклона плоскости: один и тот же куб можно разрезать так, что в разрезе будет треугольник, четырёхугольник, пятиугольник и даже правильный шестиугольник.
Главная трудность — построить сечение точно, а не примерно. Плоскость обычно задают тремя точками (три точки однозначно определяют плоскость). По ним нужно достроить весь многоугольник сечения, и каждый шаг построения должен быть обоснован. Здесь вновь работает идея модуля M5: свести объёмную задачу к точным пересечениям прямых и плоскостей.
Поворачивая куб, видно, что сечение — настоящий плоский шестиугольник, «вырезанный» внутри тела. Его шесть вершин лежат на серединах шести рёбер куба. Это сечение трудно представить без насмотренности из M4 — и легко увидеть здесь.
След секущей плоскости — это прямая, по которой она пересекает плоскость основания многогранника. Если найти след, дальше всё просто: точки следа лежат и в секущей плоскости, и в основании, поэтому через них можно проводить вспомогательные прямые и находить новые вершины сечения.
Сам приём построения опирается на два простых факта:
• Две точки в одной грани соединяются отрезком — это сторона сечения (две точки задают прямую, а прямая целиком лежит в плоскости грани).
• Две плоскости пересекаются по прямой. Продолжив сторону сечения до пересечения с плоскостью основания, получаем точку следа; две такие точки задают весь след.
Найдя след, мы продлеваем его и стороны сечения до пересечений и шаг за шагом замыкаем многоугольник. Каждое построение обосновано — это не рисунок, а доказательство.
Общая схема метода следов, когда плоскость задана тремя точками на рёбрах:
1. Соединяем точки, лежащие в одной грани, — получаем первые стороны сечения.
2. Продлеваем сторону сечения до пересечения с плоскостью основания — находим точку следа. Повторяем для другой стороны — получаем вторую точку следа.
3. Через две точки следа проводим прямую — это сам след секущей плоскости на основании.
4. Точки следа лежат в плоскости основания, поэтому через них и через известные вершины сечения проводим прямые и находим, где плоскость пересекает остальные рёбра.
5. Соединяем все найденные точки по порядку — сечение построено.
Подробное пошаговое построение с интерактивом — в углублении «Построение методом следов».
Сечение объёмного объекта плоскостью — один из самых употребительных приёмов в самых разных областях. Везде, где нужно «заглянуть внутрь» тела, не разрушая его, или показать его устройство на чертеже, работает геометрия сечений.
Разрезы и сечения деталей на чертежах показывают внутреннее устройство — отверстия, полости, рёбра жёсткости. Без них сложную деталь не изготовить.
3D-принтер «нарезает» модель на тысячи горизонтальных сечений (слоёв) и печатает их одно за другим — это прямое применение сечений плоскостями.
Компьютерная томография строит изображение тела по множеству плоских срезов. Врач читает анатомию «по сечениям» — буквально та же задача.
Разрез здания показывает этажи и конструкции; геологический разрез — слои пород. И то, и другое — сечение объёмного объекта плоскостью.
Во всех этих задачах важно уметь построить и прочитать сечение — понять, какая фигура получится в разрезе и где она пересекает границы тела. Метод следов даёт для этого точный геометрический язык.
Доступно сейчас
Все формы сечений куба — от треугольника до правильного шестиугольника. Двигайте плоскость ползунком и смотрите, как меняется сечение.
Углубление: сечения кубачитать →Полное пошаговое построение сечения по трём точкам — шаг за шагом, с обоснованием каждого хода.
Углубление: построение методом следовчитать →Метод следов работает не только для куба. Сечения призмы и пирамиды — на вращаемых телах.
Углубление: сечения призм и пирамидчитать →Углублённые разборы — задачи вузов
Эллипс, парабола и гипербола как сечения конуса — мост к аналитической геометрии и орбитам планет.
Углубление: конические сечениячитать →Как вычислить площадь и периметр построенного сечения — от подобия до векторов и координат.
Углубление: площадь и периметрчитать →Разбор сложных сечений из вступительных и олимпиадных задач — продолжение в духе модуля M9.
Углубление: сечения в задачах вузовчитать →От площади сечения — к объёму: равные сечения на каждой высоте дают равные объёмы. Наклоняйте «колоду карт».
Углубление: принцип Кавальеричитать →Разрезы и сечения — обязательный язык конструкторской документации. Их читают и строят ежедневно.
Сечения и срезы моделей — в CAD, играх, научной визуализации, послойной 3D-печати.
Чтение томограмм и микросрезов — навык «видеть тело по сечениям», тот же, что тренирует этот модуль.
Метод следов — образец того, как объёмную задачу сводят к точной цепочке обоснованных построений.