Соберём метод следов, площади и наглядность в подробные разборы настоящих вступительных задач — в духе сборников Прасолова и Шарыгина, задач мехмата МГУ и МАРХИ. Каждая решается одним удачным построением и аккуратной планиметрией.
Вузовская задача на сечение почти всегда состоит из двух частей: построить сечение по заданным условиям и вычислить что-то — площадь, периметр, угол, отношение, в котором сечение делит ребро или объём. Построение опирается на метод следов и свойство параллельных граней; вычисление — на планиметрию найденного многоугольника. Разберём несколько типичных сюжетов целиком.
Ключевой ход — на втором шаге: секущая плоскость пересекает две параллельные грани (нижнюю и верхнюю) по параллельным прямым. Поэтому на верхней грани сечение идёт через M параллельно AB — а это в точности ребро D₁C₁. Дальше остаётся соединить концы.
Условие. Найти площадь сечения куба с ребром $a$ из разбора выше (через ребро AB и середину C₁D₁).
Решение. Сечение — четырёхугольник ABC₁D₁. Стороны AB и D₁C₁ равны ребру $a$ и параллельны, значит, ABC₁D₁ — параллелограмм. Боковая сторона BC₁ — диагональ боковой грани BCC₁B₁, поэтому $BC_1 = a\sqrt2$. Проверим угол: ребро AB перпендикулярно грани BCC₁B₁, а значит, и любой прямой в ней, в том числе BC₁. Значит, угол при вершине B прямой, и ABC₁D₁ — прямоугольник со сторонами $a$ и $a\sqrt2$.
$S = a\cdot a\sqrt2 = a^2\sqrt2 \approx 1{,}41\,a^2,\qquad P = 2a + 2a\sqrt2 = 2a(1+\sqrt2).$
Это знаменитое диагональное сечение куба — наибольшее из «прямых» сечений. Заметьте: ни одной громоздкой формулы, только теорема Пифагора в грани и признак прямоугольника.
Условие. Плоскость проходит через ребро AB куба с ребром $a$ и через середину K ребра CC₁. Построить сечение и найти его площадь.
Построение. Точки A и B лежат в нижней грани, K — на боковом ребре. По свойству параллельных граней секущая плоскость пересекает верхнюю и нижнюю грани по параллельным прямым; на верхней грани прямая проходит через точку L на ребре DD₁, симметричную K. Прямая через K и L параллельна AB. Сечение — четырёхугольник ABKL.
Вычисление. AB и LK равны $a$ и параллельны, значит, ABKL — параллелограмм. Сторона AL соединяет вершину A с точкой L — серединой DD₁; в прямоугольном треугольнике ADL катеты $AD = a$ и $DL = \tfrac{a}{2}$, поэтому
$AL = \sqrt{a^2 + \tfrac{a^2}{4}} = \dfrac{a\sqrt5}{2}.$
Ребро AB перпендикулярно грани ADD₁A₁, а значит, и прямой AL в ней — угол при A прямой, ABKL — прямоугольник. Его площадь
$S = AB\cdot AL = a\cdot\dfrac{a\sqrt5}{2} = \dfrac{a^2\sqrt5}{2} \approx 1{,}12\,a^2.$
Снова рецепт тот же: увидеть параллельность граней, найти стороны через прямоугольные треугольники, опознать прямоугольник. Меняются числа — метод остаётся.
Секущая плоскость режет параллельные грани по параллельным прямым. Это сразу даёт форму сечения; длины сторон находят через прямоугольные треугольники в гранях, а площадь — по планиметрии.
Метод следов и параллельность граней. Сначала точки в общих гранях, затем след и недостающие вершины.
Параллелограмм, трапеция, прямоугольник? Параллельные грани дают параллельные стороны; перпендикулярность ребра к грани — прямые углы.
Через прямоугольные треугольники в гранях и теорему Пифагора. Диагональ грани куба — $a\sqrt2$.
По планиметрии: формула для правильной фигуры или разбиение на треугольники.
И главное — крупный, аккуратный чертёж (навык модуля M8). На хорошем рисунке параллельности и прямые углы видны сразу, и решение пишется в несколько строк.