Построить сечение — половина дела; на экзамене обычно просят найти его площадь или периметр. Сечение — это плоский многоугольник, и для него работают обычные формулы. Двигайте плоскость и следите, как меняются периметр и площадь сечения куба.
Любое сечение многогранника — плоский многоугольник, поэтому его периметр — это сумма длин сторон, а площадь считается обычными способами: для правильного многоугольника — по формуле, для произвольного — разбиением на треугольники или через координаты вершин. Главная работа — найти длины сторон сечения; а их получают из положения вершин на рёбрах (это уже умеет метод следов). Дальше — чистая планиметрия.
Максимальную площадь даёт не шестиугольник в центре, а сечение чуть в стороне — это любимый «подвох» вузовских задач. Подвигайте плоскость и понаблюдайте за числами.
Классический результат. Сечение куба с ребром $a$ плоскостью через центр перпендикулярно главной диагонали — правильный шестиугольник со стороной $\dfrac{a\sqrt2}{2}$. Его периметр $P = 6\cdot\dfrac{a\sqrt2}{2} = 3a\sqrt2$, а площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ равна $\dfrac{3\sqrt3}{2}s^2$, откуда
$S = \dfrac{3\sqrt3}{2}\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 = \dfrac{3\sqrt3}{4}\,a^2 \approx 1{,}299\,a^2.$
В интерактиве при ребре $a=1$ периметр шестиугольника $\approx 4{,}24$, площадь $\approx 1{,}30$ — ровно эти значения.
Сторона $\tfrac{a\sqrt2}{2}$, периметр $3a\sqrt2$, площадь $\tfrac{3\sqrt3}{4}a^2$ — частый ответ во вступительных задачах про сечения куба.
Сечение куба с ребром $a$ плоскостью через два противоположных ребра — прямоугольник со сторонами $a$ и $a\sqrt2$ (диагональ грани). Его площадь $S = a\cdot a\sqrt2 = a^2\sqrt2$, периметр $P = 2a + 2a\sqrt2 = 2a(1+\sqrt2)$. Это самое большое «прямое» сечение куба.
Решение опирается на то, что диагональ грани куба равна $a\sqrt2$ (теорема Пифагора в квадратной грани), а две такие диагонали и два ребра образуют прямоугольник. Никаких сложных вычислений — только увиденная конструкция.
Плоскость через три середины рёбер, выходящих из одной вершины куба с ребром $a$, отсекает правильный треугольник со стороной $\dfrac{a\sqrt2}{2}$. Его площадь $S = \dfrac{\sqrt3}{4}\left(\dfrac{a\sqrt2}{2}\right)^2 = \dfrac{\sqrt3}{8}a^2$.
Здесь ключ — что каждая сторона треугольника соединяет середины двух рёбер одной грани, то есть является средней линией и равна половине диагонали грани, $\dfrac{a\sqrt2}{2}$. Снова: правильно увидел — и формула площади правильного треугольника доводит до ответа.