Рассечём конус плоскостью — и в зависимости от её наклона получим круг, эллипс, параболу или гиперболу. Эти четыре кривые, известные ещё Аполлонию, описывают орбиты планет, форму антенн и фар. Наклоняйте секущую плоскость и смотрите, как одна кривая перетекает в другую.
Если рассечь круговой конус плоскостью, в сечении окажется одна из четырёх кривых — и какая именно, зависит только от наклона плоскости. Горизонтальный срез даёт круг; чуть наклонив плоскость — эллипс; сделав её параллельной образующей конуса — параболу; наклонив ещё сильнее (так, что плоскость задевает обе полы конуса) — гиперболу. Эти кривые так и называются — конические сечения; их подробно изучил древнегреческий геометр Аполлоний Пергский.
Граница между эллипсом и гиперболой — это парабола: момент, когда плоскость становится параллельна образующей конуса. До него сечение замкнуто (эллипс), после — уходит в бесконечность двумя ветвями (гипербола).
Замкнутая кривая, $0 \le e < 1$ (круг — частный случай, $e=0$). Сумма расстояний до двух фокусов постоянна. Орбиты планет — эллипсы.
Граничный случай, $e = 1$. Плоскость параллельна образующей. Все точки равноудалены от фокуса и директрисы. Форма антенн и фар.
Две ветви, $e > 1$. Разность расстояний до фокусов постоянна. Траектории комет, не возвращающихся к Солнцу.
Эксцентриситет $e$ связывает наклон секущей плоскости с формой кривой: чем сильнее наклон относительно образующей, тем больше $e$. При $e=0$ — круг, при $e<1$ — эллипс, $e=1$ — парабола, $e>1$ — гипербола. Одно число описывает всё семейство.
Конические сечения — один из самых востребованных сюжетов. В физике по ним движутся планеты, кометы и спутники (законы Кеплера). В технике параболе придают форму антенн, прожекторов и фар — она собирает лучи в фокусе. В аналитической геометрии все четыре кривые задаются уравнениями второй степени, и их изучение — обязательная часть вузовского курса. Так наглядное сечение конуса оборачивается уравнением $Ax^2+Bxy+Cy^2+\dots=0$ — это и есть переход «от наглядности к вузу», которому посвящён модуль M9.
Сечение конуса (геометрия, M7) ⟶ кривая второго порядка (аналитическая геометрия) ⟶ орбита (физика). Один объект — три языка описания.