Один и тот же куб можно рассечь так, что в разрезе будет треугольник, четырёхугольник, пятиугольник — и даже правильный шестиугольник. Всё зависит от наклона и положения плоскости. Двигайте плоскость ползунком вдоль диагонали и смотрите, как форма сечения перетекает одна в другую.
У куба шесть граней, и секущая плоскость может пересечь от трёх до всех шести из них. Сколько граней она задевает — столько сторон и будет у сечения. Срежешь уголок — получишь треугольник; рассечёшь насквозь под наклоном — четырёх- или пятиугольник; пройдёшь через центр перпендикулярно большой диагонали — ровно правильный шестиугольник. Куб, кажущийся простым, прячет целое семейство сечений.
В середине пути (плоскость через центр) сечение — правильный шестиугольник. Сдвигая плоскость к вершине, увидите, как шестиугольник теряет стороны и превращается в треугольник у самого угла.
Плоскость отсекает один уголок куба, пересекая три грани, сходящиеся в вершине. Самое простое сечение.
Плоскость пересекает четыре грани. Частный случай — прямоугольник или квадрат (срез параллельно ребру).
Плоскость задевает пять граней из шести. Шестиугольником пятиугольник станет, чуть «дотянувшись» до шестой грани.
Плоскость пересекает все шесть граней. Через центр перпендикулярно диагонали — правильный шестиугольник.
А вот семиугольника в сечении куба быть не может: граней всего шесть, и плоскость не может пересечь больше шести. Число сторон сечения выпуклого многогранника не превышает числа его граней.
Когда плоскость проходит через центр куба перпендикулярно главной диагонали, она пересекает все шесть рёбер ровно в их серединах — по симметрии. Шесть равных отрезков образуют правильный шестиугольник. Это красивое следствие симметрии куба: главная диагональ — ось симметрии третьего порядка, и поворот на 120° переводит сечение в себя.
Тот же шестиугольник вы видели вращающимся на главной странице модуля M7. Здесь же видно, как он рождается из движения плоскости — и во что превращается, когда симметрия нарушается.