Метод следов работает не только для куба. Рассечём призму и пирамиду плоскостью, параллельной основанию: у призмы сечение равно основанию, а у пирамиды — подобно ему и меньше. Переключайте тело и вращайте, чтобы увидеть сечение со всех сторон.
Сечение и метод следов — это не только про куб. Любой многогранник можно рассечь плоскостью, и в разрезе появится многоугольник. У призмы и пирамиды есть особенно наглядные сечения — параллельные основанию. Они показывают, чем эти два семейства различаются: призма «постоянна» по высоте, а пирамида сужается к вершине.
У призмы сечение, параллельное основанию, в точности равно основанию (конгруэнтно ему) — на любой высоте. У пирамиды сечение подобно основанию, но тем меньше, чем выше оно проведено; у самой вершины оно стягивается в точку.
Сечение, параллельное основанию, равно основанию на любой высоте. Поэтому объём призмы — просто площадь основания на высоту: $V = S_{\text{осн}}\cdot h$.
Сечение подобно основанию с коэффициентом, равным доле высоты от вершины. Площадь сечения меняется как квадрат этой доли — отсюда и множитель $\tfrac13$ в объёме $V=\tfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h$.
Это свойство — основа метода, которым в Древней Греции и доказывали формулу объёма пирамиды: тело «нарезали» на тонкие параллельные слои-сечения и складывали их площади. Прямой предок интегрального исчисления.
Если плоскость наклонена к основанию, сечение уже не повторяет основание, и его строят полным методом следов — так же, как для куба. Для призмы след секущей плоскости проводят в плоскости основания и продлевают боковые стороны сечения до него; для пирамиды удобно использовать, что боковые рёбра сходятся в вершине, — это даёт дополнительные точки для построения.
Идея остаётся той же, что в модуле M7: найти след, соединять точки в общих гранях, продлевать прямые до пересечений. Меняется только форма тела — метод универсален.