Два главных семейства многогранников. Призма — два равных основания и боковые прямоугольники. Пирамида — основание и грани, сходящиеся в вершине. Из них собирается почти вся школьная стереометрия. Переключайте и вращайте оба тела.
Большинство тел в задачах — это призмы, пирамиды или их комбинации. Призма получается, если «вытянуть» многоугольник перпендикулярно его плоскости: два равных параллельных основания, соединённых боковыми гранями-прямоугольниками. Пирамида — если из всех точек основания провести отрезки в одну вершину. Зная эти два тела, можно разобрать почти любую конструкцию.
Повертев, легко увидеть: у призмы два одинаковых «этажа», у пирамиды всё сводится в одну точку. Боковые рёбра призмы параллельны, у пирамиды — сходятся.
$V = S_{\text{осн}}\cdot h, \qquad S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}}\cdot h$
Объём — площадь основания на высоту; боковая поверхность — периметр основания на высоту (для прямой призмы). Полная поверхность добавляет два основания. Частный случай призмы — параллелепипед (основание — параллелограмм), а его частный случай — наш знакомый куб.
У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основанию (боковые грани — прямоугольники). У наклонной — нет; тогда в формуле $S_{\text{бок}}$ берут периметр перпендикулярного сечения.
$V = \tfrac13\,S_{\text{осн}}\cdot h, \qquad S_{\text{бок}} = \tfrac12\,P_{\text{осн}}\cdot m$
Объём — треть произведения площади основания на высоту. Боковая поверхность правильной пирамиды — половина периметра основания на апофему $m$ (высоту боковой грани) — ту самую из модуля M5. Коэффициент $\tfrac13$ — общий для всех конусовидных тел.
Три одинаковые пирамиды складываются в призму (куб делится на три равные пирамиды) — отсюда и множитель $\tfrac13$. Это видно на разрезании куба.