Правильный многогранник — тот, у которого все грани одинаковые правильные многоугольники и все вершины устроены одинаково. Таких тел ровно пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Их называют Платоновыми. Переключайте и вращайте каждое.
Ещё древние греки знали пять идеально симметричных тел и считали их основами мироздания: Платон связывал их со стихиями (огонь — тетраэдр, земля — куб, воздух — октаэдр, вода — икосаэдр, космос — додекаэдр). Эта пятёрка — вершина симметрии в трёх измерениях.
Тетраэдр (4 треугольника), куб (6 квадратов), октаэдр (8 треугольников), додекаэдр (12 пятиугольников), икосаэдр (20 треугольников). У всех — равные грани и одинаковые вершины.
В каждой вершине должно сходиться не меньше трёх граней, а сумма их плоских углов — быть строго меньше 360° (иначе вершина «расплющится»). Перебираем правильные многоугольники:
• Треугольники (угол 60°): по 3, 4 или 5 в вершине — тетраэдр, октаэдр, икосаэдр. Шесть дают ровно 360° — уже плоскость.
• Квадраты (90°): только по 3 — куб. Четыре дают 360°.
• Пятиугольники (108°): только по 3 — додекаэдр.
• Шестиугольники (120°): даже три дают 360° — невозможно.
Вариантов ровно пять — отсюда и пять Платоновых тел. Изящный итог, который умещается в один абзац.
Если в каждой грани тела поставить точку-центр и соединить центры соседних граней, получится другое правильное тело — двойственное. У куба 6 граней и 8 вершин — у его двойственного, октаэдра, наоборот: 8 граней и 6 вершин. Так:
• куб ↔ октаэдр,
• додекаэдр ↔ икосаэдр,
• тетраэдр двойствен сам себе.
Двойственность меняет местами роли вершин и граней — и формула Эйлера это подтверждает: $\text{В}$ и $\text{Г}$ просто меняются местами, а $\text{В}-\text{Р}+\text{Г}=2$ остаётся.