Между идеально правильными Платоновыми телами и произвольными многогранниками лежит красивое промежуточное семейство — Архимедовы тела. У них грани — правильные многоугольники двух и более видов, но все вершины устроены одинаково. Самый знакомый пример — футбольный мяч.
Платоновы тела требуют, чтобы все грани были одинаковыми. Если чуть ослабить условие — разрешить несколько видов правильных граней, но сохранить одинаковость всех вершин, — получится новое семейство: полуправильные, или Архимедовы, тела. Их ровно 13 (плюс бесконечные серии призм и антипризм). Это тела высокой, но «смешанной» симметрии.
Обратите внимание: все рёбра одинаковой длины, а все вершины «выглядят» одинаково — но грани двух разных видов. Это и есть определение полуправильного тела.
Срежем углы у тетраэдра — выйдет усечённый тетраэдр (треугольники и шестиугольники). У куба — усечённый куб. А самое знаменитое: срежем 12 вершин икосаэдра — получим усечённый икосаэдр из 12 пятиугольников и 20 шестиугольников. Это и есть футбольный мяч — а в химии та же форма у молекулы фуллерена C₆₀.
12 чёрных пятиугольников и 20 белых шестиугольников. Идеальный Архимедов многогранник, который держат в руках миллионы — и не подозревают о геометрии.
Архимедовых тел ровно 13 (усечённый тетраэдр, кубооктаэдр, усечённый куб, усечённый октаэдр, ромбокубооктаэдр, усечённый кубооктаэдр, икосододекаэдр, усечённый додекаэдр, усечённый икосаэдр, ромбоикосододекаэдр, усечённый икосододекаэдр и два курносых). Кроме них есть две бесконечные серии полуправильных тел — призмы и антипризмы.
Это естественное продолжение Платоновых тел: чуть больше свободы — и симметричных тел становится богаче. Дальше начинается мир сечений (модуль M7) и проекций (M8).