Построим сечение куба по трём заданным точкам — шаг за шагом, с обоснованием каждого хода. Два правила: точки в одной грани соединяем отрезком, а линия, по которой плоскость пересекает основание, — это след. Нажимайте «далее».
Чтобы построить сечение, нужны всего два факта. Первое: если две точки сечения лежат в одной грани, их соединяет отрезок — сторона сечения (ведь прямая через две точки целиком лежит в плоскости грани). Второе: две плоскости пересекаются по прямой; линия, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания, называется следом. Найдя след, мы можем продлевать прямые и находить новые вершины сечения. Разберём это на конкретном построении.
Это простейший случай: все три точки попарно лежат в общих гранях, поэтому стороны сечения находятся сразу. Линия MN при этом лежит в основании — она и есть след секущей плоскости.
Каждый шаг обоснован. MN соединяет точки нижней грани, значит, целиком лежит в ней и в секущей плоскости — это линия пересечения секущей плоскости с основанием, то есть след. MP лежит в передней грани (обе точки на ней), NP — в левой. Три отрезка ограничивают треугольник, все стороны которого лежат в гранях куба, а вершины — на рёбрах. Это и есть сечение.
Заметьте: плоскость отсекла от куба угол при вершине A — получился «уголок»-тетраэдр, а сечение является его «крышкой». Так наглядность подкрепляется строгим обоснованием — в духе Шарыгина.
В более сложных задачах две вершины сечения не оказываются в одной грани, и сторону не провести напрямую. Тогда работает полный метод следов: продлеваем уже построенную сторону сечения до пересечения с плоскостью основания — получаем точку следа. Две такие точки задают весь след. Через точки следа и известные вершины проводим прямые и находим, где плоскость пересекает остальные рёбра. Так шаг за шагом сечение замыкается даже в самых запутанных случаях.
Продлить сторону сечения до основания → точка следа. Соединить точки следа → след. По следу достроить недостающие вершины. Этот приём и дал название модулю — метод следов.