Мы научились находить площадь одного сечения. А что, если набрать сечения на всех высотах? Тогда из них складывается объём. Принцип Кавальери говорит удивительную вещь: если у двух тел на каждой высоте сечения равны по площади — равны и их объёмы. Наклоняйте «колоду карт» и убедитесь: объём не меняется.
Представьте тело как стопку очень тонких слоёв — как колоду карт. Объём тела — это сумма площадей слоёв, умноженных на их толщину. Отсюда мысль Бонавентуры Кавальери: если у двух тел одинаковой высоты на каждом уровне сечения имеют равную площадь, то и объёмы у них равны — независимо от формы тел. Сдвиньте колоду вбок — она перекосится, но объём не изменится: каждая карта осталась прежней.
Наклон сдвигает слои вбок, но не растягивает и не сжимает их: ширина каждого слоя (а в пространстве — площадь сечения) остаётся прежней. Поэтому суммарный объём не зависит от наклона. На этом принципе выводят формулы объёмов — например, объём наклонной призмы равен объёму прямой с тем же основанием и высотой.
Самое красивое применение — объём шара. Возьмём полушар радиуса $R$ и рядом — цилиндр радиуса $R$ и высоты $R$, из которого вырезан конус (вершиной вниз). На высоте $h$ сечение полушара — круг радиуса $\sqrt{R^2-h^2}$, площадь $\pi(R^2-h^2)$. Сечение «цилиндра без конуса» — кольцо: круг радиуса $R$ минус круг радиуса $h$, площадь $\pi R^2-\pi h^2 = \pi(R^2-h^2)$. Площади равны на каждой высоте!
Значит, по Кавальери объёмы равны, а объём «цилиндра без конуса» легко считается: $\pi R^3 - \tfrac13\pi R^3 = \tfrac23\pi R^3$. Удвоив (два полушара), получаем знаменитую формулу
$V_{\text{шар}} = \dfrac{4}{3}\pi R^3.$
Сечения полушара и «цилиндра без конуса» равны на каждой высоте, поэтому равны и объёмы — отсюда $V=\tfrac43\pi R^3$.
Наклонная призма или цилиндр имеют тот же объём, что и прямые с тем же основанием и высотой: $V=S_{\text{осн}}\cdot h$.
Сравнивая сечения, доказывают, что объём пирамиды и конуса — треть от призмы и цилиндра: $V=\tfrac13 S_{\text{осн}}\cdot h$.
Принцип Кавальери — это «наглядное интегрирование»: вместо сложных вычислений мы сравниваем сечения двух тел. Он связывает наш модуль о сечениях с теорией объёмов и служит мостом к интегралу, который изучают в вузе.