Синус и косинус превращают углы в числа — и связывают стороны треугольника с его углами. Теоремы синусов и косинусов позволяют по части данных найти всё остальное в любом треугольнике. Это ещё один вычислительный мост от наглядности к вузу. Тащите вершину и смотрите, как теорема косинусов держится точно.
Синус и косинус — это способ выразить угол числом: отношением сторон в прямоугольном треугольнике. Как только углы становятся числами, к треугольнику можно применить алгебру. Две теоремы — синусов и косинусов — связывают все стороны и углы любого (не только прямоугольного) треугольника, и по нескольким известным элементам дают все остальные. Это естественное продолжение модуля M9: наглядность подсказывает чертёж, а тригонометрия доводит его до точного числа — рядом с координатами и векторами.
Когда угол C прямой, косинус равен нулю и формула превращается в теорему Пифагора $c^2=a^2+b^2$. Острый угол уменьшает $c$, тупой — увеличивает: член $-2ab\cos C$ как раз и есть «поправка» Пифагора на наклон. Куда бы ни ушла вершина — равенство выполняется.
Теорема косинусов обобщает Пифагора на любой треугольник: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. По двум сторонам и углу между ними она находит третью сторону, а по трём сторонам — любой угол. Теорема синусов связывает стороны с противолежащими углами:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R,$
где $R$ — радиус описанной окружности. Вместе они решают любой треугольник: по стороне и двум углам, по двум сторонам и углу — по любому достаточному набору данных. А площадь удобно считать через синус: $S = \tfrac12\,ab\sin C$.
Косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$. Синусов: $\tfrac{a}{\sin A}=\tfrac{b}{\sin B}=\tfrac{c}{\sin C}=2R$. Площадь: $S=\tfrac12 ab\sin C$.
Тригонометрию берут, когда в задаче смешаны длины и углы: найти сторону по двум другим и углу, угол по трём сторонам, площадь по двум сторонам и углу между ними. В стереометрии она находит углы между прямыми и плоскостями и длины наклонных. Часто связку «увидел чертёж → записал теорему косинусов → посчитал» применить быстрее, чем строить дополнительные линии. Вместе с координатами и векторами тригонометрия завершает тройку вычислительных методов вузовской геометрии.
По любому достаточному набору сторон и углов теоремы синусов и косинусов дают все остальные элементы.
$S=\tfrac12 ab\sin C$ — площадь по двум сторонам и углу; теорема косинусов — угол по трём сторонам.